求偶数级幻方的方法.

求偶数级幻方的方法.
求偶数级幻方的方法.

求偶数级幻方的方法.
任意阶幻方构造方法
幻方,亦称纵横图.台湾称为魔术方阵.将自然数1,2,3,……n*n排列成一个n*n方阵,使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等,等于n/2*(n*n+1),这样的方阵称为幻方.
例如：把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3*3的格子,使得：每行、每列、两条对角线的和是15.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
n是它的阶数,比如上面的幻方是3阶.n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数.数学上已经证明,对于n>2,n阶幻方都存在.
目前填写幻方的方法,是把幻方分成了三类,每类又有各种各样的填写方法.这里对于这三类幻方,仅举出一种方便手工填写的方法.
1、奇数阶幻方
n为奇数 (n=3,5,7,9,11……) (n=2*k+1,k=1,2,3,4,5……)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法).填写方法是这样：
把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n*n-1个数：
(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；
(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列；
(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行；
(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4).
这种写法总是先向“右上”的方向,象是在爬楼梯.
2、双偶阶幻方
n为偶数,且能被4整除 (n=4,8,12,16,20……) (n=4k,k=1,2,3,4,5……)
先说明一个定义：
互补：如果两个数字的和,等于幻方最大数和最小数的和,即 n*n+1,称为互补.
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
这个方阵的对角线,已经用蓝色标出.将对角线上的数字,换成与它互补的数字.
这里,n*n+1 = 4*4+1 = 17；
把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方.
对于n=4k阶幻方,我们先把数字按顺序填写.写好后,按4*4把它划分成k*k个方阵.因为n是4的倍数,一定能用4*4的小方阵分割.然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方.
下面是8阶幻方的作法：
(1) 先把数字按顺序填.然后,按4*4把它分割成2*2个小方阵
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
(2) 每个小方阵对角线上的数字,换成和它互补的数.
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
3、单偶阶幻方
n为偶数,且不能被4整除 (n=6,10,14,18,22……) (n=4k+2,k=1,2,3,4,5……)
这是三种里面最复杂的幻方.
以n=10为例.这时,k=2
(1) 把方阵分为A,B,C,D四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶.用楼梯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇数阶幻方的填法填数.


A B




C D


17 24 1 8 15 67 74 51 58 65
23 5 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 3 60 62 69 71 53
11 18 25 2 9 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34
(2) 在A象限的中间行、中间格开始,按自左向右的方向,标出k格.A象限的其它行则标出最左边的k格.
→
17 24 1 8 15 67 74 51 58 65
23 5 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 3 60 62 69 71 53
11 18 25 2 9 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34
(3) 将这些格,和C象限相对位置上的数,互换位置.
92 99 1 8 15 67 74 51 58 65
98 80 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 88 95 22 54 56 63 70 72
85 87 19 21 3 60 62 69 71 53
86 93 25 2 9 61 68 75 52 59
17 24 76 83 90 42 49 26 33 40
23 5 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 13 20 97 29 31 38 45 47
10 12 94 96 78 35 37 44 46 28
11 18 100 77 84 36 43 50 27 34
(4) 在B象限任一行的中间格,自右向左,标出k-1列.(注：6阶幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D象限的数据交换)
←
92 99 1 8 15 67 74 51 58 65
98 80 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 88 95 22 54 56 63 70 72
85 87 19 21 3 60 62 69 71 53
86 93 25 2 9 61 68 75 52 59
17 24 76 83 90 42 49 26 33 40
23 5 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 13 20 97 29 31 38 45 47
10 12 94 96 78 35 37 44 46 28
11 18 100 77 84 36 43 50 27 34
(5) 将B象限标出的这些数,和D象限相对位置上的数进行交换,就形成幻方.
92 99 1 8 15 67 74 26 58 65
98 80 7 14 16 73 55 32 64 66
4 6 88 95 22 54 56 38 70 72
85 87 19 21 3 60 62 44 71 53
86 93 25 2 9 61 68 50 52 59
17 24 76 83 90 42 49 51 33 40
23 5 82 89 91 48 30 57 39 41
79 81 13 20 97 29 31 63 45 47
10 12 94 96 78 35 37 69 46 28
11 18 100 77 84 36 43 75 27 34