17(福建)南平已知:如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA=m , PB=n . ⑴当n=4时,求m的值;⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 05:42:29
![17(福建)南平已知:如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA=m , PB=n . ⑴当n=4时,求m的值;⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,](/uploads/image/z/13261402-10-2.jpg?t=17%28%E7%A6%8F%E5%BB%BA%29%E5%8D%97%E5%B9%B3%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9A%E5%A6%82%E5%9B%BE%E2%91%A0+%2C+A%E6%98%AF%E5%8D%8A%E5%BE%84%E4%B8%BA2%E7%9A%84%E2%8A%99O%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2CP%E6%98%AFOA%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E8%BF%87P%E4%BD%9C%E2%8A%99O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%2C%E5%88%87%E7%82%B9%E4%B8%BAB%E3%80%81%E8%AE%BEPA%EF%BC%9Dm+%2C+PB%EF%BC%9Dn+.+%E2%91%B4%E5%BD%93n%EF%BC%9D4%E6%97%B6%2C%E6%B1%82m%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%9B%E2%91%B5%E2%8A%99O%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E7%82%B9C%2C%E4%BD%BF%E2%96%B3PBC%E4%B8%BA%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%3F%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C)
17(福建)南平已知:如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA=m , PB=n . ⑴当n=4时,求m的值;⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,
17(福建)南平已知:如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA=m , PB=n . ⑴当n=4时,求m的值;⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由; ⑶当 m 为何值时,⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形?并直接答出:此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个?(图②、图③供解题时选用)
17(福建)南平已知:如图① , A是半径为2的⊙O上的一点,P是OA延长线上的一动点,过P作⊙O的切线,切点为B、设PA=m , PB=n . ⑴当n=4时,求m的值;⑵⊙O上是否存在点C,使△PBC为等边三角形?若存在,
(1)解法一:连接OB.
∵PB切⊙O于B,
∴∠OBP=90°,
∴PO^2=PB^2+OB^2,
∵PO=2+m,PB=n,OB=2,
∴(2+m)2=n2+2^2 m^2+4m=n2;
n=4时,解,得:
m1=-2√5-2(舍去),m2=2√5-2.
∴m的值为 2√5-2.
解法二:延长PO交⊙O于Q,PAQ为⊙O割线.
又∵PB切⊙O于B,
∴PB2=PA•PQ,(1分)
∵PB=n,PA=m,PO=m+4,
∴n2=m2+4m,(3分)
当n=4时,解得 m1=-2√5-2(舍去),m2=2√5-2,
∴m的值为 25-2.(5分)
(2)存在点C,使△PBC为等边三角形;(6分)
当∠OPB=30°时,过点P作⊙O的另一条切线PC,C为切点,
∴PB=PC,∠OPB=∠OPC,
∴∠BPC=60°,∴△PBC为等边三角形;(7分)
连接OB,∠OBP=90°,OB=2,得OP=4,(8分)
∴m=PA=OP-OA=2.(9分)
(3)如图,设EF为线段PB的垂直平分线,垂足为D,当EF与⊙O相切于点M时,M符合要求;(10分)
连接OB、OM,易得四边形OMDB为正方形,
∴BD=DP=OM=2,
∴n=PB=4.(12分)
由(1)得n=4时,m= 2√5-2,
∴当m= 2√5-2时,⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形,(13分)
此时⊙O上共有3个点能与PB构成等腰三角形.(14分)
(这3点分别是M,M1,M2.其中M是PB中垂线与⊙O的切点,M1是延长BO与⊙O的交点,M2是点B关于OP的对称点)
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