设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab急

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 04:49:14
设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab急
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设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab急
设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab
急

设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab急
a^5+b^5+c^5>=a^3bc+b^3ac+c^3ab
即证a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc>=a^2+b^2+c^2
(ab+bc+ac)(a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc)
=a^4+b^4+c^4+b^5/a+a^5/b+c^5/b+b^5/c+c^5/a+a^5/c
>=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2
=(a^2+b^2+c^2)^2
即a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc>=(a^2+b^2+c^2)^2/(ab+bc+ac)
又ab+bc+ac=(a^2+b^2+c^2)^2/(ab+bc+ac)>=(a^2+b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2
原不等式得证
(ab+bc+ac)(a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc)>=(a^2+b^2+c^2)^2亦可直接由柯西不等式得到

原命题等价于证a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥a^2+b^2+c^2------(*)
由柯西不等式有
（bc+ac+ab)[a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)]≥(a^2+b^2+c^2)^2
所以a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥（a^2+b^2+c^2）^2/(bc+ac+ab)

全部展开

原命题等价于证a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥a^2+b^2+c^2------(*)
由柯西不等式有
（bc+ac+ab)[a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)]≥(a^2+b^2+c^2)^2
所以a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥（a^2+b^2+c^2）^2/(bc+ac+ab)
又bc≤（b^2+c^2)/2, ac≤（a^2+c^2)/2, ab≤（a^2+b^2)/2
所以a^4/(bc) + b^4/(ac) + c^4/(ab)≥
（a^2+b^2+c^2）^2/[（b^2+c^2)/2+（a^2+c^2)/2+(a^2+b^2)/2]
=a^2+b^2+c^2
(*)式得证，即原命题得证。

收起

设abc为正实数,求证:a+b+c 设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab急 设a,b,c为正实数,求证；a^5+b^5+c^5大于等于a^3bc+b^3ac+c^3ab 设a,b,c为正实数,求证1／a+1／b+1／c+abc≥2√3 设a,b,c,属于正实数,求证a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=2/3 设a,b,c均为正实数,求证：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)大于等于3/2 设a b c均为正实数 求证1/2a+1/2b+1/2C >= 1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) 设a,b,c均为正实数,求证：1/2a+1/2b+1/2c》1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b) 设a,b,c均为正实数,求证:a+1/b,b+1/c,c+1/a中至少有一个不小于2如题~ 设a,b,c为正实数,求证1／a3+1／b3+1／c3+abc≥2√3 设a.b.c为正实数,求证：1/a3+1/b3+1/c3+>=2根号3 设a,b,c为正实数,求证：a^4+b^4+c^4>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c). 数学不等式求证题设a,b,c均为正实数,求证（1/2a)+(1/2b)+(1/2c)>=(1/(b+c))+(1/(c+a))+(1/(a+b)) 已知a,b,c,d为正实数,求证：下列三个不等式a+b 设a,b,c为正实数,求证1/a^3+ 1/b^3+ 1/c^3+ abc>=2根号3 设a.b.c为正实数求证1/a^3+1/b^3+1/c^3+abc>=2√3 设abc为正实数.且A+B=C 求证a^(2/3)+b^(2/3)>c^(2/3)如题.. 设a,b,c∈正实数且a+b=c‘求证：a2／3+b2／3＞c2／3