已知(a+b+c)平方=3ab+3ac+3bc 证明a=b=c

已知(a+b+c)平方=3ab+3ac+3bc 证明a=b=c
已知(a+b+c)平方=3ab+3ac+3bc 证明a=b=c

已知(a+b+c)平方=3ab+3ac+3bc 证明a=b=c
（a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca =3ab+3bc+3ca 所以a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0 (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2+2ca+a^2)=0 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 所以(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(c-a)^2=0 a-b=0,b-c=0,c-a=0 所以a=b=c

证明： a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac 所以a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0 所以2（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac）=0 所以(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0 所以a=b a=c b=c 所以a=b=c 所以是正三角形