作业帮一道高等数学代数题,设n>4,a1,a2,.,一共n个不同的整数.求证f(x)是整系数不可约多项式,其中f(x)=(x-a1)（x-a2)…(x-an)±1如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。如果可能，
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 19:46:03
一道高等数学代数题,设n>4,a1,a2,.,一共n个不同的整数.求证f(x)是整系数不可约多项式,其中f(x)=(x-a1)（x-a2)…(x-an)±1如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。如果可能，
一道高等数学代数题,
设n>4,a1,a2,.,一共n个不同的整数.求证f(x)是整系数不可约多项式,其中
f(x)=(x-a1)（x-a2)…(x-an)±1
如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。
如果可能，
一道高等数学代数题,设n>4,a1,a2,.,一共n个不同的整数.求证f(x)是整系数不可约多项式,其中f(x)=(x-a1)（x-a2)…(x-an)±1如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。如果可能，
思路：反证法.
设f(x)＝p(x)q(x),其中p(x),q(x)的次数都>=1,<=n－1,
且是整系数多项式.
注意到1＝f(ai)＝p(ai)q(ai),1<=i<=n,
且p(ai)和q(ai)都是整数,因此只能是
p(ai)＝q(ai)＝1或p(ai)＝q(ai)＝－1.
令g(x)＝p(x)－q(x),则g(ai)＝0,1<=i<=n,
再由g(x)的次数<=n－1知道g(x)＝0,即p(x)＝q(x),
因此f(x)＝p^2(x),故n＝2k,k>=3.
再不妨设p(ai)＝1,1<=i<=k,
p(ai)＝－1,k+1<=i<=n.
于是p(x)＝(x－a1).(x－ak)+1
＝(x－a(k+1)).(x－an)－1.
代入x＝an得
(an－a1).(an－ak)＝－2,
注意到上式左边是至少3个互不相等的整数的乘积,而
－2＝－1×2＝1×(－2),因此上式不可能成立.矛盾.
对于f(x)＝(x－a1)...(x－an)－1,
类似得到－1＝f(ai)＝p(ai)q(ai),
于是令g(x)＝p(x)+q(x),可知g(x)＝0,
f(x)=－p^2(x).
但x趋于正无穷时,lim f(x)＝正无穷,
lim －p^2(x)＝－无穷,矛盾.