一道高等数学代数题,设n>4,a1,a2,.,一共n个不同的整数.求证f(x)是整系数不可约多项式,其中f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)±1如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。如果可能,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 03:52:48
一道高等数学代数题,设n>4,a1,a2,.,一共n个不同的整数.求证f(x)是整系数不可约多项式,其中f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)±1如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。如果可能,
一道高等数学代数题,
设n>4,a1,a2,.,一共n个不同的整数.求证f(x)是整系数不可约多项式,其中
f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)±1
如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。
如果可能,
一道高等数学代数题,设n>4,a1,a2,.,一共n个不同的整数.求证f(x)是整系数不可约多项式,其中f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)±1如果打字不方便。只要说出方法就可以了无需写出具体步骤。如果可能,
思路:反证法.
设f(x)=p(x)q(x),其中p(x),q(x)的次数都>=1,<=n-1,
且是整系数多项式.
注意到1=f(ai)=p(ai)q(ai),1<=i<=n,
且p(ai)和q(ai)都是整数,因此只能是
p(ai)=q(ai)=1或p(ai)=q(ai)=-1.
令g(x)=p(x)-q(x),则g(ai)=0,1<=i<=n,
再由g(x)的次数<=n-1知道g(x)=0,即p(x)=q(x),
因此f(x)=p^2(x),故n=2k,k>=3.
再不妨设p(ai)=1,1<=i<=k,
p(ai)=-1,k+1<=i<=n.
于是p(x)=(x-a1).(x-ak)+1
=(x-a(k+1)).(x-an)-1.
代入x=an得
(an-a1).(an-ak)=-2,
注意到上式左边是至少3个互不相等的整数的乘积,而
-2=-1×2=1×(-2),因此上式不可能成立.矛盾.
对于f(x)=(x-a1)...(x-an)-1,
类似得到-1=f(ai)=p(ai)q(ai),
于是令g(x)=p(x)+q(x),可知g(x)=0,
f(x)=-p^2(x).
但x趋于正无穷时,lim f(x)=正无穷,
lim -p^2(x)=-无穷,矛盾.