过点A(4,0)作直线L交圆O:x²+y²=4于B、C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程.注意:P点不是固定的一点哦!希望广大的亲能告诉我作法,请详细点说明.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/25 22:49:48
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过点A(4,0)作直线L交圆O:x²+y²=4于B、C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程.注意:P点不是固定的一点哦!希望广大的亲能告诉我作法,请详细点说明.
过点A(4,0)作直线L交圆O:x²+y²=4于B、C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程.
注意:P点不是固定的一点哦!
希望广大的亲能告诉我作法,请详细点说明.
过点A(4,0)作直线L交圆O:x²+y²=4于B、C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程.注意:P点不是固定的一点哦!希望广大的亲能告诉我作法,请详细点说明.
设L:y=k(x-4),B(a,b),C(m,n),P(x,y)
则x=(a+m)/2,y=(b+n)/2
将直线方程与圆的方程联立得x²+k²(x-4)²=4
(1+k²)x²-8k²x+16k²-4=0
a+m=8k²/(1+k²)
b+n=k(a-4)+k(m-4)=k(a+m)-8k=8k/(1+k²)
x=(a+m)/2=4k²/(1+k²)
y=(b+n)/2=4k/(1+k²)
故x/y=k
则y=4k/(1+k²)=(4x/y)/[1+(x/y)²]
y²+x²-4x=0
即(x-2)²+y²=4
所以P的轨迹方程为(x-2)²+y²=4.
(x-2)²+y²=4.
设L为y=k(x-4),代入x²+y²=4得(k^2+1)x^2-8k^2x+(16k^2-4)=0,设方程两根为x1,x2,P(x0,y0),则x0=(x1+x2)/2=4k^2/(k^2+1),代回y=k(x-4)得y0=-4k/(k^2+1),k=-x0/y0,代回得y0=-x0/y0(x0-4),因此x0^2+y0^2-4x0=0,即(x0-2)^2+y0^2=4
结论是:y²+(x-2)²=4,0≤x≤1
做法:首先假设直线为y=k(x-4),联立圆的方程,用韦达定理解得x1+x2=8k²/(1+k²)
假设P(x,y),其中x=(x1+x2)/2
分情况讨论:
一、k=0,此时y=0,x=0
二、k≠0,此时根据△≥0解得k²≤1/3
故x∈[0,1]
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结论是:y²+(x-2)²=4,0≤x≤1
做法:首先假设直线为y=k(x-4),联立圆的方程,用韦达定理解得x1+x2=8k²/(1+k²)
假设P(x,y),其中x=(x1+x2)/2
分情况讨论:
一、k=0,此时y=0,x=0
二、k≠0,此时根据△≥0解得k²≤1/3
故x∈[0,1]
根据y=k(x-4)和x=4k²/(1+k²)得y=-4k/(1+k²),故x/y=-k,代入直线方程,得到答案
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