高一数学14题

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/29 16:00:15
高一数学14题
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高一数学14题
高一数学14题

 

高一数学14题

因为f(x)=x/x²+1
所以f(x)=1/(x+1/x)
令g(x)=x+1/x
则易知:g(x)在(—∞,—1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,
因此f(x)在(—∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(—1,0)和(0,1)上单调递增
望采纳

讨论函数f(x)=x/(x²+1)的单调性

解法一:设 x1 < x2

f(x1) - f(x2)

= x1/(x1²+1) - x2/(x2²+1)

= [x1(x2²+1)-x2(x1²+1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]

= [x1x2(x2-x1)-x2+x1] / [(x1²+1)(x2²+1)]

= (x2-x1)(x1x2-1) / [(x1²+1)(x2²+1)]

当 x 在区间 (1,+∞) 上时,上式 f(x1) - f(x2) > 0,f(x) 是减函数

当 x 在区间 (-∞,-1) 上时,上式 f(x1) - f(x2) > 0,f(x) 是减函数

当 x 在区间 (-1,1) 上时,上式 f(x1) - f(x2) < 0,f(x) 是增函数

解法二:(图像法)

∵f(-x) = -x/[(-x)²+1] = -x/(x²+1) = -f(x)

∴此函数是奇函数。

图像如下所示

用图像可得出结论:

当 x 在区间 (1,+∞) 上时,上式 f(x1) - f(x2) > 0,f(x) 是减函数

当 x 在区间 (-∞,-1) 上时,上式 f(x1) - f(x2) > 0,f(x) 是减函数

当 x 在区间 (-1,1) 上时,上式 f(x1) - f(x2) < 0,f(x) 是增函数

解法三:求导数,再由零点值,分区间讨论(略)