如何证明椭圆上的动点与焦点所成角在顶点取最大值?

如何证明椭圆上的动点与焦点所成角在顶点取最大值?
如何证明椭圆上的动点与焦点所成角在顶点取最大值?

如何证明椭圆上的动点与焦点所成角在顶点取最大值?
证明：对于椭圆标准方程
x²/a²+y²/b²=1
设椭圆上任意一点P
F1,F2为左右焦点
设PF1=x,那么PF2=2a-x
PF1和PF2的夹角为P
余弦定理
cosP=[(2a-x)²+x²-4c²]/[2(2a-x)x]
=(4a²-4ax+x²+x²-4c²)/[2(2a-x)x]
=(2x²-4ax+4b²)/[2(2a-x)x]
=[x(x-2a)+2b²]/[2(2a-x)x]
=2b²/(-x²+2ax)-1
=2b²/[-(x-a)²+a²-1]
令s=-(x-a)²+a²-1为二次函数,当x=a的时候s有最大值a²-1
而cosP在[0,90]是减函数
所以x=a的时候cosP取得最大值
此时PF1=PF2=a
也就是说在椭圆的顶点
焦点在y轴的情况一样

一种思路是直接用余弦定理求那个角，过程不难，可以自己试一试。

证明：【1】可设点P是椭圆(x²/a²)+(y²/b²)=1(a＞b＞0)上的任意一点，F1，F2是左右焦点。
且|F1F2|=2c.设|PF1|=m, |PF2|=n. 由椭圆定义可知，m+n=|PF1|+|PF2|=2a.
当点P在x轴上时，易知，∠F1PF2=0º。以下假设点P不在x轴上。
【2】在⊿F1PF2中，由余...

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证明：【1】可设点P是椭圆(x²/a²)+(y²/b²)=1(a＞b＞0)上的任意一点，F1，F2是左右焦点。
且|F1F2|=2c.设|PF1|=m, |PF2|=n. 由椭圆定义可知，m+n=|PF1|+|PF2|=2a.
当点P在x轴上时，易知，∠F1PF2=0º。以下假设点P不在x轴上。
【2】在⊿F1PF2中，由余弦定理可知：
cos∠F1PF2=(|PF1|²+|PF2|²-|F1F2|²)/[2|PF1|×|PF2|]
=(m²+n²-4c²)/(2mn)=[(m+n) ²-4c²-2mn]/(2mn)
=(4a²-4c²-2mn)/(2mn)=(4b²-2mn)/(2mn)
=[2b²/(mn)]-1.
即：cos∠F1PF2=[2b²/(mn)]-1.
【3】由基本不等式可知，2a=m+n≥2√(mn).等号仅当m=n=a时取得。
∴1/(mn) ≥1/a².
∴cos∠F1PF2=[2b²/(mn)]-1≥(2b²/a²)-1.即（cos∠F1PF2）min=(2b²/a²)-1.
∵0＜∠F1PF2＜π且在(0,π)上递减。
∴当cos∠F1PF2最小时，∠F1PF2最大。
由上面可知，当m=n=a时，∠F1PF2最大。
易知，当m=n=a时，点P恰在上下顶点处。
∴当点P在上下顶点时，∠F1PF2最大。

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