作业帮若矩形的长宽和对角线都是整数,求证矩形的面积是12的倍数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 00:05:30
若矩形的长宽和对角线都是整数,求证矩形的面积是12的倍数
若矩形的长宽和对角线都是整数,求证矩形的面积是12的倍数
若矩形的长宽和对角线都是整数,求证矩形的面积是12的倍数
在矩形中,长宽以及对角线都是整数意味着,在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中,a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同,即m≡n(mod 3),则m-n必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为<0,0>,<1,1>,<2,2>）
2.若m,n分别除以3后,余数之和为3或0,则(m+n)必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为<1,2>,<2,1>）
3.若m,n中有一个除以3余0,则m和n中有一个必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数有一个为0的所有情况）
上面三种情况包含了所有余数的情况
综上所述,S总能被12整除,所以这个矩形的面积必为12的倍数
已知曲线x=2根号2cosa y=2sina（a为参数）及定点P(4,1)
猜测：长宽对角线都是整数，而且是矩形，说明这三边满足勾股定理，根据勾股定理 （3、4、5） （6、 8、 10）（ 5、12、13），故可以用勾股定理来证明，勾股定理的勾和股相乘便是矩形面积。最小的面积是12其他的都是12的倍数，所以矩形的面积是12的倍数。...
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猜测：长宽对角线都是整数，而且是矩形，说明这三边满足勾股定理，根据勾股定理 （3、4、5） （6、 8、 10）（ 5、12、13），故可以用勾股定理来证明，勾股定理的勾和股相乘便是矩形面积。最小的面积是12其他的都是12的倍数，所以矩形的面积是12的倍数。
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你是希望杯刚考了吧
我是刚考了。
用勾股定理来做
很简单的。。
希望杯的吧
我刚考过，好像用勾股定理就可以（那道题我是白茫茫一片）
不过在奥林匹克小丛书·初中卷，同余、整除，那一册的勾股定理有介绍，题目差不多。
易知长、宽、对角线满足勾股数，分两种情况：
①当k为奇数时，勾股数（矩形的长宽对角线）为：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……，（2k+1，2k²+2k，2k²+2k+1)，则矩形的面积是
S = 2(2k+1)(2k²+2k) = 4k(k+1)(2k+1) （k为正整数）
当k=3m时，S = 4k(k+1...
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易知长、宽、对角线满足勾股数，分两种情况：
①当k为奇数时，勾股数（矩形的长宽对角线）为：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……，（2k+1，2k²+2k，2k²+2k+1)，则矩形的面积是
S = 2(2k+1)(2k²+2k) = 4k(k+1)(2k+1) （k为正整数）
当k=3m时，S = 4k(k+1)(2k+1) = 12m(3m+1)(6m+1)
当k=3m+1时，S = 4k(k+1)(2k+1) = 12(3m+1)(3m+2))(2m+1)
当k=3m+2时，S = 4k(k+1)(2k+1) = 12(3m+2)(m+1)(6m+5)
故矩形较小的边为奇数时，面积s是12的倍数；
②当k为偶数时，勾股数（矩形的长宽对角线）为：（4，3，5），（6，8，10），（8，15，17），……，（2k，k²-1，k²+1)，
同理可证。
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你好，矩形的长、宽和它的对角线构成了勾股的三个量，
符合都是整数的话，应该是(3a)²+(4a)²=(5a)²，那么矩形的面积是3a x 4a =12a²，
所以，矩形的面积是12的倍数。