在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 23:59:20
在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.
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在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.
在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.

在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.
不放设△ABC中,∠A是钝角,H是垂心,
容易知道H在△ABC外,（详见附图）,
连接HA,并延长交BC于D,连接HB,交CA延长线于F,连接HC,交BA延长线于E,则D、E、F都是三边的垂足
tanB=CE/BE,tanC=BE/CE,
∴tanB/(-tanA)
=tanB/tan∠CAE
=(CE/BE)/(CE/AE)
=AE/BE
同理,
tanC/(-tanA)
=tanB/tan∠BAF
=(BF/CF)/(BF/AF)
=AF/CF
过A作AM‖HC,交HB于M,过A作AN‖HB,交HC于N,则
四边形AMHN是平行四边形
∴向量HA=向量HM+向量HN
∴向量HB*tanB/(-tanA)+向量HC*tanC/(-tanA)
=向量HB*(AE/BE)+向量HC*(AF/CF)
=向量HB*(MH/BH)+向量HC*(NH/CH)
=向量HM+向量HN
=向量HA
∴向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量HA*(-tanA)
∴向量HA*tanA+向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量0
得证
祝愉快! 
为方便理解,请参看附图：

在四面体ABCD总,Ha,Hb,Hc,Hd分别是△BCD,△CDA,△ABD,△ABC的垂心,求证:AHa,BHb,CHc,DHd相交于一点的充要条件是AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2. 在三角形ABC中,三边长中a=3,b=4,c=6.h(a)表示a边上的高.h(b),h(c)类似,求（ha+hb+hc)(1/ha+1/hb+1/hc) 在三角形ABCD中,如果三边上的高Ha:Hb:Hc=4:5:6,那么三边a:b: 如图,草原上有四口油井,位于四边形ABCD的四个顶点上,现在要建立一个维修站H,试问H建在何处,才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小,说明理由. 已知等边△ABC和点P,P到△ABC三边bc、ab、ac距离为ha,hb,hc,△ABC高h,若P在BC上,求证hb=hc=h当p在三角形abc的内部,求证ha=hb=hc=h当点p在三角形abc的外部,但在角bac的内部时,求证hb=hc-ha=h当点p在三角形abc 在△ABC中,三边为a=3,b=4,c=6,ha,hb,hc分别为边BC,AC,AB上的高,则(ha+hb+hc)(1/ha+1/hb+1/hc)=___ 数学1.已知等边△ABC和点P,P到△ABC三边bc、ab、ac距离为ha,hb,hc,1.已知等边△ABC和点P,P到△ABC三边bc、ab、ac距离为ha,hb,hc,（1）如图（1）,△ABC高h,若P在BC上,求证hb+hc=h（2）如图（2）,当p在三角形a 草原上有四口油井,位于四边形ABCD的四个顶点,现在要修建一个维修站H,敢问H健在何处,才能使它到四口油距离之和 HA+HB+HC+HD的值最小,说明理由 （ 行行好,帮个忙,） 草原上有4口油井,位于四边形ABCD的四个顶点上,如图,如果现在要建一个维修站H,试问：H建在何处,才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小?说明理由 如图,草原上原有4口油井,位于四边形abcd的四个顶点处,先要建立一个维修站h,h应建在何处才能使它到四口油井的距离之和ha+hb+hc+hd最小?请说明理由.把思路通俗易懂的写下来吧~(>_ 几何某地有四个村庄分别位于四边形ABCD的四个顶点上 现在要建一个抽水站H向四个村庄供水H建在哪里才使他到4个村庄的距离之和HA+HB+HC+HD为最小?请说明理由 证明钝角三角形ABC,垂心H,满足tanAHA+tanBHB+tanCHC=0,HA,HB,HC与0都是向量 在△ABC中∠A,∠B,∠C,所对的边分别是a,b,c,边上的高分别为ha,hb,hc.(1)若a=b,求证ha=hb.(2)若a:b:c=2:5:6,求证ha:hb:hc.(3)若a＞b＞c,求证ha＜hb＜hc. m,v0均相同的A,B,C在同一水平面上按如图方式抛出,上升最大高度为hA,hB,hC,比较三者大小答案是hA>hB,hA>hC为什么B和C不能比啊 一道向量.一道向量.三角形ABC的垂心为H,求证 HA·HB = HB·HC = HC·HA三角形的内心,外心,垂心,中心,哪三点共线,证明之. 有4个村庄,位于四边形ABCD的4个顶点,如图,现在要打一口水井,试问H建在何处,才能使它到4个村庄的距离HA＋HB＋HC＋HD最小,并说明理由 在△ABC中 设BC=a AC=b AB=c,Ha,Hb,Hc 分别是边BC,AC,AB上的高 若a+Ha=b+Hb=c+Hc,则三角形的形状 一个梯形的四个顶点分别是A、B、C、D.要在梯形中间构造一点H,使HA＋HB＋HC＋HD为最小,怎么构造?为什么?原因要解释清楚.