实数x,y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0,则|3x+4y+8|的最小值为?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 14:27:40
实数x,y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0,则|3x+4y+8|的最小值为?
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实数x,y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0,则|3x+4y+8|的最小值为?
实数x,y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0,则|3x+4y+8|的最小值为?

实数x,y满足x^2+y^2-2x-2y+1=0,则|3x+4y+8|的最小值为?
除了楼上的方法之外,我个人还有两种方法来解,已知原方程可化为(x-1)^2+(y-1)^2=1.
方法1：圆心到直线3x+4y+8=0的距离D=|3*1+4*1+8|/5=3,所以圆上的点到该直线的最小距离d(min)=D-r=2,最大距离d(max)=D+r=4,因此所求|3x+4y+8|的最小值是10,最大值是20.这利用的是数形结合法,很简单.
方法2：利用柯西不等式.原理是[(a1)^2+(a2)^2]*[(b1)^2+(b2)^2]≥(a1b1+a2b2)^2,不等式等号成立的条件是a1b2=a2b1.对于本题而言,则有25=[(x-1)^2+(y-1)^2]*(9+16)≥[3*(x-1)+4*(y-1)]^2=(3x+4y-7)^2（这样凑为的只是与原题x、y前的系数一致,如果更改了其他数字就凑出那个数字的平方,所以此法适用范围更广）.所以|3x+4y-7|≤5,即2≤3x+4y≤12,因此10≤3x+4y+8≤20.利用柯西不等式间接地求得答案.方法任君挑选.

x^2+y^2-2x-2y+1=0
(x-1)^2+(y-1)^2=1
由此
设x=1+cosa y=1+sina
|3x+4y+8|
=|3(1+cosa)+4(1+sina)+8|
=|15+3cosa+4sina|
=|15+5sin(a+t)|
10<=15+5sin(a+t)<=20
所以|3x+4y+8|的最小值为10
此时x=2/5 y=1/5

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已知实数x.y满足(x+2)^2+y^2( 已知实数X,Y满足2 已知实数xy满足x+2y 已知实数xy满足 x+y-2 设实数x,y满足 x>=0 x-2y>=0 x-y-2 设实数x,y满足约束条件：x>=2;y>=x;2x+y 当实数x,y,满足约束条件{x>0 y>=x 2x+y+k 实数x,y满足y=(根号2x)+(根号1-2x),求y最大值. 已知实数x,y满足不等式组：2x-y=0,x+2y 已知实数x,y满足约束条件:x>=2 y>=2 x+y 若实数x,y满足x^2-xy-y^2 =0,则x/y=? 若正实数x.y满足x+y=xy,则x+2y的最小值 实数x.y满足(x-2(平方)+y(平方)=3则y/x的最大值? 已知实数x,y满足x+y>=2,x-y 已知实数X,Y满足X+Y>=2,X-Y 实数x.y满足(x-2(平方)+y(平方)=3则y/x的最大值? 已知实数x,y满足y=|x-1|,则x+2y的最大值是 若实数x,y满足不等式组x>=0 ,y>=0,x+2y