作业帮已知,AB是圆的直径,PB、PC是圆的切线,CD垂直于AB于D,连接PA交CD于E.求证：CE=DE
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 04:41:47
已知,AB是圆的直径,PB、PC是圆的切线,CD垂直于AB于D,连接PA交CD于E.求证：CE=DE
已知,AB是圆的直径,PB、PC是圆的切线,CD垂直于AB于D,连接PA交CD于E.求证：CE=DE
已知,AB是圆的直径,PB、PC是圆的切线,CD垂直于AB于D,连接PA交CD于E.求证：CE=DE
纠结了2天,搞错方向了!总想利用什么圆周角啊、弦切角啊、圆心角、切割线定理、相交弦定理等与圆相关的一些性质、定理!本题除了AB是固定的,其他边都随着P点在PB这条线上的移动而变化,形状不固定,很难找到替代CE、DE的边.因此用纯几何的方法就难了,需要利用代数、三角函数了.可设PB=a,半径=r【这两个值是影响其它点位置和边长的量.】然后用它们表示出CD、OD的长度,进而求出ED的长度.
证明：
设圆心为O,PB=x,圆半径=r,连接OC、OP
∵B、C是切点
则 OB⊥PA OC⊥PC PB=PC
∴△POC≌△POB (SSS)
∴ ∠POC=∠POB,∠BOC=∠POC+∠POB=2∠POB
OP=√(a²+r²)
sin∠POB=x/OP
cos∠POB=r/OP
sin∠BOC=sin2∠POB=2sin∠POBcos∠POB=2ar/OP² 【倍角公式】
cos∠BOC=cos2∠POB=1-2sin²∠POB=(r²-a²)/OP² 【倍角公式】
在Rt△ODC中
CD=rsin∠BOC=2ar²/OP²
OD=rcos∠BOC=r(r²-a²)/OP²
AD=r+OD=r+r(r²-a²)/(r²+a²)=(r((r²+a²)+r(r²-a²))/(r²+a²)=2r^3/OP²
ED=AD*tan∠A=2r^3/OP² * a/(2r) =ar²/OP²
CD:ED=2ar²/OP² :ar²/OP² =2:1
∴ CE=DE
要看p点得位置而定