作业帮判别级数的敛散性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 18:23:55
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判别级数的敛散性
判别级数的敛散性
判别级数的敛散性
首先,对n ≥ 2,1 ≤ ln((n+1)!)/ln(n!)
= (ln(n+1)+ln(n!))/ln(n!)
= 1+ln(n+1)/ln(n!)
≤ 1+ln(n+1)/ln(2^(n-1))
= 1+ln(n+1)/((n-1)ln(2)).
当n → ∞时ln(n+1)/(n-1) → 0,故ln((n+1)!)/ln(n!) → 1.
由此可知,正项级数∑a^n/ln(n!)后项与前项的比值收敛到a.
根据D'Alembert比值判别法,当a > 1时级数发散,a < 1时级数收敛.
当a = 1时,级数为∑1/ln(n!) ≥ ∑1/ln(n^n) = ∑1/(nln(n)).
而由Cauchy积分判别法可知∑1/(nln(n))发散,故由比较判别法知∑1/ln(n!)也发散.
因此当且仅当0 < a < 1时级数收敛.