已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA=1:3.求证B,G,N三点共线.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 07:22:15
已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA=1:3.求证B,G,N三点共线.
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已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA=1:3.求证B,G,N三点共线.
已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA=1:3.求证B,G,N三点共线.

已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA=1:3.求证B,G,N三点共线.
证明：取CD的中点E,连接ME,NE
∵M是△BCD重心,且E是CD中点
∴B,M,E 三点共线
同理,A,N,E 三点共线
∴ M,N是△ABD上两条边上的点
假设AM与BN交点是G‘,B,G’,N三点共线.
∵AN/NE=2 ,BM/ME=2
∴MN∥AB,且MN=AB/3
∴ G’M:G’A=1:3,即：G'与G共点
∴B,G,N三点共线.

 

若证三点共线，可改变思路：若连接BN交AM于G',证明G'M:G'A=1:3,　那么G'与G就是同一点，本来B，G'，N三点共线，现在就成了B，G，N有三点共线。

关于三角形的重心的性质也了解一下：三角形的重心就是三角形的顶点与对边中点连线产生的，三条连线交于一点成为重心，重心到顶点的距离是到对边的距离的两倍。至于三条为何交于一点，及重心到顶点与对边的距离比是如何证明的，在此不做论述，若感兴趣，可以另立论题。

为了便于观看，将四面体中间我们感兴趣的部份截出成为右图，过M引AP的平行线交BN于Q，即MQ||AP。

基于三角形重心的性质，AN＝2NP, NP = (1/2)AN,　（N为三角形ACD的重心），三角形BQG'与三角形APG'相似，MG':G'A =MQ:AN 。
又因三角形BMQ与三角形BPN相似，则有MQ:NP = BM : BP (因M是三角形BCD的重心，BM=2MP, BP = BM+MP = 2MP+MP = 3MP, BM : BP = 2 : 3),
MQ:NP = 2: 3,
MQ:(1/2)AN = 2: 3,
2MQ : AN = 2 : 3,
MQ : AN = 1 : 3,

MG':G'A = 1: 3。

所以G与G'为同一点，B，N，G三点共线得证。

已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA=1:3.求证B,G,N三点共线. 有一四面体ABCD,点N为面BCD的重心,点M为面ACD的重心,则四面体四面中与MN平行的是哪些面? 已知四面体ABCD中,M、N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心,P为AC上一点,且AP:PC=2:1求证：（1）BD//面CMN；（2）平面MNP//平面BCD 在四面体ABCD中,M、N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是? 求教一道高一几何题已知四面体ABCD中,M、N分别为三角形ABC和三角形ACD的重心,求证：线MN平行于面ABD ,线BD平行于面CMN 在四面体A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行为面 ADB.还有面 四面体A-BCD四个面的重心分别为E,F,G,H,则四面体E-FGH的表面积与四面体A-BCD的表面积的比值是 已知正四面体ABCD的棱长为a,求点A到面BCD的距离已知正四面体ABCD的棱长为a,(1)求点A到面BCD的距离;(2)求AB与面BCD所成角 在正四面体ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,求异面直线MN与BD所成的角在正四面体(四个面都是三角形)ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,求异面直线MN与BD所成的角请一楼的看好题 为什么不是异面直线 ? 在四面体ABCD中,M,N分别是三角形ACD,三角形BCD的重心,则四面体的四个面中,与MN平行的平面是（ 是一道填空题 已知四面体ABCD中,G、M、N分别是△BCD、△ABC、△ABD的重心,求证：平面GMN‖平面ACD. 已知四面体ABCD,M,N分别是三角形ABC,ACD的重心,求证MN平行面ABD,BD平行面CMN 四面体ABCD四个面重心分别为E、F、G、H,则四面体EFGH表面积与四面体ABCD表面积的比值是________ 为甚么 四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H,那么四面体EFGH的表面积与ABCD的表面积的比值是多少?四面体是三棱锥 四面体ABCD中,三角形BCD的重心M,三角形ACD的重心N.如何证明MN平行另外的平面 四面体ABCD中,三角形BCD的重心M,三角形ACD的重心N.如何证明MN平行另外的平面 立体几何-正四面体的题目如图,在正四面体ABCD中,M是棱AD的中点,N是ΔBCD的中心,则异面直线MN与BC所成的角为多少? 四面体ABCD四个面重心分别为E、F、G、H,则四面体EFGH表面积与四面体ABCD表面积的比值是________