作业帮a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f（x）,使f（a）=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/21 01:31:50
a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f（x）,使f（a）=0
a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f（x）,使f（a）=0
a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f（x）,使f（a）=0
证明：因为（√2+√3)(√2-√3)=-1, (√2+√3)+(√2-√3)=2√2
故√2+√3是方程x^2-2√2x-1=0的根
x^2-2√2x-1=0,乘以x^2+2√2x-1得：
（x^2-1)^2-(2√2x)^2=0,即：x^4-10x^2+1=0
取f(x)=x^4-10x^2+1,则f(x)为有理数域上的不可约多项式,且：f（a）=0
首先，题目是存在性证明，故找到一个有理数域上的不可约多项式即可。
其次，如何找到这个不可约多项式。从加根a^1=根号2+根号3出发，考虑其有根号2，根号3两项系数，需要通过加减消去前面的系数，比较困难；
考虑a^2=5+2*根号6，此时只有一项为为无理数，可考虑在多项式中加入二次项。不考虑三次项，考虑其二项式展开，必定为a*根号2+b*根号3形式，且a，b其系数不相等，故不考虑；<...
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首先，题目是存在性证明，故找到一个有理数域上的不可约多项式即可。
其次，如何找到这个不可约多项式。从加根a^1=根号2+根号3出发，考虑其有根号2，根号3两项系数，需要通过加减消去前面的系数，比较困难；
考虑a^2=5+2*根号6，此时只有一项为为无理数，可考虑在多项式中加入二次项。不考虑三次项，考虑其二项式展开，必定为a*根号2+b*根号3形式，且a，b其系数不相等，故不考虑；
然后考虑a^4=49+20*根号6，刚好只有根号6一项为无理数，如利用系数加减的方法，构造多项式f（x）=x^4-10x^2+c，其中c为常数，再代入a确定c为1，故多项式为f（x）=x^4-10*x^2+1。
最后检验其是否为有理数域上不可约多项式，发现其为本原多项式，故满足题目条件。命题得以证明。
收起
存在有理数域上的不可约多项式f（x）=a^4-10a^2+1
此时f（a）=0。
存在性问题，能举出实例也就证明了。