作业帮二项式定理中的数学思想
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 23:40:44
二项式定理中的数学思想
二项式定理中的数学思想
二项式定理中的数学思想
一、学习目标
1.掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质及应用,这是本节的重点；
2.掌握二项式定理的应用,这是本节的难点.
二、知识网络
三、要点梳理
1.二项式定理是(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的概括和推广,它是以乘法公式为基础,以组合知识为工具来表达展开式的,式中的a和b可以是具体的数,也可以是代数式.
2.(a+b)n的二项展开式具有以下特点：1它有n+1项；2各项的次数都等于二项式的幂指数n；3式中a的指数由n开始按降幂排列到0,b的指数由0开始按升幂排列到n；4各项的系数依次是.
3.二项式定理有两个特殊形式：
①；
②.
在解题时经常用到,且很方便,需熟记.
4.二项展开式的通项公式在解题时应用较多,因而尤其重要,但必须注意它是(a+b)n的二项展开式的第r+1项,而不是第r项；二项展开式的通项公式含a,b,n,r,Tr+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素,但必须注意n是正整数,r是非负整数(r=0的情形容易忽视),且r≤n.
5.(a+b)n与(b+a)n虽然相同,但具体到二项展开式的某一项时是不同的,(a+b)n的第r+1项是,(b+a)n的第r+1项是,我们要注意项数与顺序的关系.
6.二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念,前者只指,而后者是指该项除字母以外的部分,包括符号.如在(1-2x)7的二项展开式中,第四项是,第四项的二项式系数是,而第四项的系数是,它们既有区别,又有联系.
7.二项式系数的性质主要有：1对称性,即,实际上是组合数性质的应用；2增减性与最大值,要注意当n为偶数时,中间一项是第n／2+1项,且这一项的二项式系数最大,最大为,当n是奇数时,中间两项是第n+1／2项和第n+1／2+1项,中间的两项相等且最大；3各二项式系数的和,对中x赋予1得到.
8.二项式系数的最大项必是展开式的中间项,展开式中系数绝对值最大的项往往要通过与前后两项的比较(组成不等式组)来求得,但要注意系数绝对值比前后两项都大的项不一定就是系数最大的项.
9.“杨辉三角”直观地反映了二项式系数的性质,在二项式乘方次数不大时,可借助于它直接写出各项的二项式系数,必须熟记n=2,3,4,5,6时的二项式系数.
10.在二项展开式中,从第2项起的二项式系数等于它的前一项的二项式系数乘以该项中a的幂指数,再除以该项中b的幂指数与1的和,即.
四、思想·方法·技巧
1.求二项展开式的指定项,通常是先根据已知条件r,再求Tr+1,有时还需要确定n.
2.有些非二项展开式问题可以通过因式分解或整体代换为二项展开式问题解决；也可以通过组合知识进行分类加以解决.
3.证明组合恒等式或二项展开式系数求和时通常用构造法和赋值法：构造一个相应的二项展开式,再对该二项展开式进行赋值,或者构造同一问题的不同解法,通过变更问题解决.
4.用二项式定理解决整除问题时用化整为零的思想：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项都能被另一个式子整除.
5.利用二项式定理证明不等式或近似计算时,多用放缩法舍去不需要的展开项；如果a的绝对值与1比较很小,且n不很大时可用近似计算公式(1+a)n≈1+na处理.
五、考点审视
二项式定理在高考中一般以选择、填空题的形式出现,多考查基本概念；在解答题中则多考查二项式定理的应用.