2010年陕西省咸阳市的数学竞赛的题及参考答案

2010年陕西省咸阳市的数学竞赛的题及参考答案
2010年陕西省咸阳市的数学竞赛的题及参考答案

2010年陕西省咸阳市的数学竞赛的题及参考答案
一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）
1．若,则的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
由题设得．
代数式变形,同除b
2．若实数a,b满足,则a的取值范围是（ ）．
（A）a （B）a4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4
解．C
因为b是实数,所以关于b的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．
方程思想,判别式定理；要解一元二次不等式
3．如图,在四边形ABCD中,∠B＝135°,∠C＝120°,AB=,BC=,CD＝,则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
D
如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F．
由已知可得
BE=AE=,CF＝,DF＝2,
于是 EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF,垂足为G．在Rt△ADG中,根据勾股定理得
AD＝．
勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法
4．在一列数……中,已知,且当k≥2时,
（取整符号表示不超过实数的最大整数,例如,）,则等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
B
由和可得
,
,
……
因为2010=4×502+2,所以=2．
高斯函数；找规律.
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5．如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1,1）,B（2,－1）,C（－2,－1）,D（－1,1）．y轴上一点P（0,2）绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010,2） （B）（2010,）
（C）（2012,） （D）（0,2）
B由已知可以得到,点,的坐标分别为（2,0）,（2,）．
记,其中．
根据对称关系,依次可以求得：
,．
令,同样可以求得,点的坐标为（）,即（）,
由于2010=4502+2,所以点的坐标为（2010,）．
二、填空题
6．已知a＝－1,则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
0
由已知得 (a＋1)2＝5,所以a2＋2a＝4,于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟,小轿车追上了货车；又过了5分钟,小轿车追上了客车；再过t分钟,货车追上了客车,则t＝ ．
15
设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分）,并设货车经x分钟追上客车,由题意得
, ①
, ② ． ③
由①②,得,所以,x=30． 故 （分）．



8．如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0,0）,A（0,6）,B（4,6）,C（4,4）,D（6,4）,E（6,0）．若直线l经过点M（2,3）,且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 ．


如图,延长BC交x轴于点F；连接OB,AFCE,DF,且相交于点N．
由已知得点M（2,3）是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5,2）是矩形CDEF的中心,所以,
过点N（5,2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是,直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为,则
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
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9．如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D．若CD＝CF,则 ．

见题图,设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB,所以 即 ,
解得,或（舍去）．
又Rt△∽Rt△,所以, 即=．
10．对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足,则正整数的最小值为 ．
因为为的倍数,所以的最小值满足
,
其中表示的最小公倍数．
由于
,
因此满足的正整数的最小值为．

三、解答题（共4题,每题20分,共80分）
11．如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证： （第12A题）


．
（第12B题）


（第12B题）


证明：如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以
ED⊥BC, FD⊥BC,
因此D,E,F三点共线. …………（5分）
连接AE,AF,则
,
所以,△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
我自己知道的,大家会复制我的,所以请你先看看谁先发的答案,希望能帮助你.

Confucius said:" after I die, then the operator is given, also." Ceng Zi said:" what is it?" Confucius said:" business, and Yin has person, give or not if. Do not know the child, as his father; do not...

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Confucius said:" after I die, then the operator is given, also." Ceng Zi said:" what is it?" Confucius said:" business, and Yin has person, give or not if. Do not know the child, as his father; do not know the person, depending on their friends; not the monarch, as it makes its way; not, as its vegetation. The day and the habitat, such as entering a room full of fragrant orchids, is long and not smell its fragrance, and that of the Yi; does not occupy with the good man, such as the objectionable environment, long and not smell the smell, with one of. Dan of the Tibetan red paint, the hidden black. Is a gentleman must be careful of the person who"

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