一直椭圆x^2+y^/2=1过点A(-根号3,0)的直线l交椭圆于M、N两点,以MN为直径的圆恰过椭圆中心,求直线方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 14:26:08
一直椭圆x^2+y^/2=1过点A(-根号3,0)的直线l交椭圆于M、N两点,以MN为直径的圆恰过椭圆中心,求直线方程
一直椭圆x^2+y^/2=1过点A(-根号3,0)的直线l交椭圆于M、N两点,以MN为直径的圆恰过椭圆中心,求直线方程
一直椭圆x^2+y^/2=1过点A(-根号3,0)的直线l交椭圆于M、N两点,以MN为直径的圆恰过椭圆中心,求直线方程
设直线 l 的斜率为k,则:直线 l 的方程是y=k(x+√3).
联立x^2+y^2/2=1、y=k(x+√3),消去y,得:x^2+k^2(x+√3)^2/2=1,
∴2x^2+k^2x^2+2√3k^2x+3k^2-2=0,∴(2+k^2)x^2+2√3k^2x+3k^2-2=0.
∵M、N在直线y=k(x+√3)上,
∴可令M、N的坐标分别是(m,km+√3k)、(n,kn+√3k).
显然,m、n是方程(2+k^2)x^2+2√3k^2x+3k^2-2=0的根,∴由韦达定理,有:
m+n=-2√3k^2/(2+k^2)、mn=(3k^2-2)/(2+k^2).
向量OM=(m,km+√3k)、向量ON=(n,kn+√3k).
∵以MN为直径的圆过椭圆的中心,而椭圆的中心是坐标原点O,∴OM⊥ON.
∴向量OM·向量ON=0,
∴mn+(km+√3k)(kn+√3k)=0,
∴mn+k^2mn+√3k^2(m+n)+3k^2=0,
∴(1+k^2)(3k^2-2)/(2+k^2)-√3k^2[2√3k^2/(2+k^2)]+3k^2=0,
∴(1+k^2)(3k^2-2)-6k^4+3k^2(2+k^2)=0,
∴3k^2-2+3k^4-2k^2-6k^4+6k^2+3k^4=0,
∴7k^2=2,∴k=√14/7,或k=-√14/7.
∴满足条件的直线 l 的方程有两个,分别是:
y=(√14/7)(x+√3)、y=-(√14/7)(x+√3).