请问 用比较审敛法判断级数收敛性 1/(n*n^1/n) （n=1 to 无穷）

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 10:02:30
请问 用比较审敛法判断级数收敛性 1/(n*n^1/n) （n=1 to 无穷）
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请问 用比较审敛法判断级数收敛性 1/(n*n^1/n) （n=1 to 无穷）
请问 用比较审敛法判断级数收敛性 1/(n*n^1/n) （n=1 to 无穷）

请问 用比较审敛法判断级数收敛性 1/(n*n^1/n) （n=1 to 无穷）
首先你自己可以证明 lim 1/(n^(1/n))=1
而 lim 1/(n·n^1/n) / (1/n) = lim 1/(n^1/n) = 1
所以原级数和1/n有相同敛散性.
故原级数发散.

请问 用比较审敛法判断级数收敛性 1/[n*n^(1/n)] （n=1 to 无穷）
u‹n›=1/[n*n^(1/n)] =1/n^[(n+1)/n]
将此级数与调和级数∑(1/n)作个比较：
由于n→∞lim{1/n^[(n+1)/n]}/(1/n)=n→∞limn/{n^[(n+1)/n]}=n→∞limn^[1-(n+1)/n]
=...

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请问 用比较审敛法判断级数收敛性 1/[n*n^(1/n)] （n=1 to 无穷）
u‹n›=1/[n*n^(1/n)] =1/n^[(n+1)/n]
将此级数与调和级数∑(1/n)作个比较：
由于n→∞lim{1/n^[(n+1)/n]}/(1/n)=n→∞limn/{n^[(n+1)/n]}=n→∞limn^[1-(n+1)/n]
=n→∞lim[n^(-1/n)]=n→∞lim[1/n^(1/n)]=1/{n→∞lim[n^(1/n)]}
=1/{n→∞lime^[(1/n)lnn]}=1/{n→∞lime^(1/n)}=1/e°=1
故原级数与调和级数等价，而调和级数是发散的，因此原级数也是发散的。
注：1/{n→∞lime^[(1/n)lnn]}=1/{n→∞lime^(1/n)用了罗比塔法则。

收起

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