椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)满足a≤(√3)b,若离心率为e,求e^2+1/e^2的最小值.

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)满足a≤(√3)b,若离心率为e,求e^2+1/e^2的最小值.
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)满足a≤(√3)b,若离心率为e,求e^2+1/e^2的最小值.

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)满足a≤(√3)b,若离心率为e,求e^2+1/e^2的最小值.
e=c/a,e²=c²/a²,又c²=a²-b²,
∴e²+1/e²=c²/a²+a²/c²
=(a²-b²)/a²+a²/(a²-b²)
=[2a²(a²-b²)+(b²)²]/[a²(a²-b²)]
=2+b²b²/[a²(a²-b²)]
=2+(b²/a²)[b²/(a²-b²)]
∵a≤(√3)b,∴a²≤3b²,
∴b²/a²≥1/3,且b²/(a²-b²)≥b²/(3b²-b²)=1/2
∴(b²/a²)[b²/(a²-b²)]≥(1/3)(1/2)=1/6
∴e²+1/e²=2+(b²/a²)[b²/(a²-b²)]≥2+1/6=13/6
即e²+1/e²的最小值是13/6.