设集合Pn={1,2,…,n},n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:①A⊆Pn;②若x∈A,则①A⊆Pn;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁PnA,则2x∉∁PnA.答案有疑惑:求f(n)的解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 15:40:38
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设集合Pn={1,2,…,n},n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:①A⊆Pn;②若x∈A,则①A⊆Pn;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁PnA,则2x∉∁PnA.答案有疑惑:求f(n)的解
设集合Pn={1,2,…,n},n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:①A⊆Pn;②若x∈A,则
①A⊆Pn;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁PnA,则2x∉∁PnA.答案有疑惑:
求f(n)的解析式(用n表示).
(2)任取偶数x∈pn,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2…,经过k次后,商必为奇数,此时记商为m,于是x=m•2^k,其中m为奇数,k∈N*由条件可知,若m∈A,则x∈A,⇔k为偶数 若m∉A,则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定,设Qn是Pn中所有的奇数的集合因此f(n)等于Qn的子集个数,当n为偶数时(或奇数时),Pn中奇数的个数是n/2(或n+1/2),为什么解析式要以2为底的n/2或n+1/2次方,二:为什么是奇数的集合,三:为什么要除到商必为奇数
设集合Pn={1,2,…,n},n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:①A⊆Pn;②若x∈A,则①A⊆Pn;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁PnA,则2x∉∁PnA.答案有疑惑:求f(n)的解
这是2012江苏高考40分最后一题,你可以去搜到答案.
从题意可以看出,对于一个数字a,与2a一个在A ,另一个不在A,
a与a/2也是一个在A ,另一个不在A,
推而广之,4a、a、a/4、……与2a,a/2,a/8……一组在A,另一组不在A,
举个例子,1的2次幂:2,8,32……与1,4,16……一组在A,另一组不在A,
但就1的2次幂有两种放法:2,8,32……在A,1,4,16……不在A
1,4,16……在A,2,8,32……不在A
同理,对于3的2次幂、5的二次幂、7的二次幂……都是如此
每一种2次幂都有2种
所以,有多少个奇数,就是多少个2相乘
n为偶数时有n/2个奇数,f(n)=2^(n/2)
n为奇数时有(n+1)/2个奇数,f(n)=2^[(n+1)/2]