如图,P是正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1：2：3,求＜APB的度数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 01:14:58
如图,P是正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1：2：3,求＜APB的度数
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如图,P是正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1：2：3,求＜APB的度数
如图,P是正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1：2：3,求＜APB的度数

如图,P是正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1：2：3,求＜APB的度数
本题用旋转法可以巧解.
不妨设PA=k,PB=2k,PC=3k.
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合,得到一个新的△AQB,可知：BQ=PB=2k,QA=PC=3k,∠ABQ=∠PBC,
由于∠PBC+∠ABP=90°,所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°,则△PBQ是一个等腰直角三角形,
故：∠BPQ=45°,
由勾股定理,得:PQ^2=PB^2+BQ^2=(2k)^2+(2k)^2=8k^2,
另外,在△APQ中,PA^2+PQ^2=k^2+8k^2=9k^2=QA^2,由勾股定理知：△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形,即∠APQ=90°.
综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°.
或者：
将△APB绕B点顺时针旋转90°,得△BEC
则有△BEC≌△APB,∠APB=∠BEC
可知△BEP为等腰直角△,故∠BEP=45°
PE=2√2,而PC=3,CE=1
所以PC²=PE²+CE²
所以∠PEC=90°
则∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°