用三角函数：已知x,y满足x^2+2xy+3y^2=2,求x+2y的范围

用三角函数：已知x,y满足x^2+2xy+3y^2=2,求x+2y的范围
用三角函数：已知x,y满足x^2+2xy+3y^2=2,求x+2y的范围

用三角函数：已知x,y满足x^2+2xy+3y^2=2,求x+2y的范围
x^2+2xy+3y^2=2
x^2+2xy+y^2+2y^2=2
(x+y)²+(√2y)²=2
设x+y=√2sina √2y=√2cosa即y=cosa,则
两式相加得
x+y+y=√2sina +cosa
x+2y=√2sina +cosa=√[(√2)²+1²]sin(a+φ)=√3sin(a+φ) （辅助角公式）
∵-1≤sin(a+φ)≤1
∴-√3≤√3sin(a+φ)≤√3
∴（x＋2y）的取值范围是［－√3,√3］.
求x+2y的范围

设x＋2y＝k，则x＝k－2y。
∵x^2＋2xy＋3y^2＝2，
∴x^2＋4xy＋4y^2－2xy－y^2＝2，
∴（x＋2y）^2－2xy－y^2＝2，
∴k^2－2（k－2y）y－y^2－2＝0，
∴3y^2－2ky＋k^2－2＝0
∵y为实数，∴（－2k）^2－4×3（k^2－2）≧0，
∴k^2－3（k^2－2）≧0，∴2k^2≦...

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设x＋2y＝k，则x＝k－2y。
∵x^2＋2xy＋3y^2＝2，
∴x^2＋4xy＋4y^2－2xy－y^2＝2，
∴（x＋2y）^2－2xy－y^2＝2，
∴k^2－2（k－2y）y－y^2－2＝0，
∴3y^2－2ky＋k^2－2＝0
∵y为实数，∴（－2k）^2－4×3（k^2－2）≧0，
∴k^2－3（k^2－2）≧0，∴2k^2≦6，
∴k^2≦3，∴－√3≦k≦√3。
∴（x＋2y）的取值范围是［－√3，√3］。

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