讨论f(x)=lnx+x^2/2-kx单调性

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 10:11:04
讨论f(x)=lnx+x^2/2-kx单调性
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讨论f(x)=lnx+x^2/2-kx单调性
讨论f(x)=lnx+x^2/2-kx单调性

讨论f(x)=lnx+x^2/2-kx单调性
显然,f(x)定义域为x > 0
f'(x) = 1/x + x - k
= (x² - kx + 1)/x = 0
x² - kx + 1 = 0
判别式为k² - 4
y = x² - kx + 1为开口向上的抛物线.
(1) k < 2
判别式k² - 4 < 0,抛物线与x轴无交点,y = x² - kx + 1恒为正,f(x)在定义域内为增函数.
(2) k = 2
判别式k² - 4 = 0,抛物线与x轴相切,y = x² - kx + 1在x = 1处为0,在其它正值处恒为正,f(x)在定义域内为增函数.在x = 1处类似于y = x^3在x = 0处的情形.
(3) k > 2
判别式k² - 4 > 0,抛物线与x轴有两个交点,横坐标为x1 = [k-√(k² - 4)]/2和x2 = [k + √(k² - 4)]/2
当 x1 < x < x2时,y = x² - kx + 1 < 0,f(x)为减函数
当0 < x < x1或x > x2时,y = x² - kx + 1 > 0,f(x)为增函数

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