作业帮The number of triples (a,b,c) of positive integers such that 1/a+1/b+1/c=3/4is(A) 16 (B) 25 (C) 31 (D) 19 (E) 34正确答案是b
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 15:26:31
The number of triples (a,b,c) of positive integers such that 1/a+1/b+1/c=3/4is(A) 16 (B) 25 (C) 31 (D) 19 (E) 34正确答案是b
The number of triples (a,b,c) of positive integers such that 1/a+1/b+1/c=3/4
is
(A) 16 (B) 25 (C) 31 (D) 19 (E) 34
正确答案是b
The number of triples (a,b,c) of positive integers such that 1/a+1/b+1/c=3/4is(A) 16 (B) 25 (C) 31 (D) 19 (E) 34正确答案是b
题目：已知a、b、c是三个正整数,满足方程1/a+1/b+1/c=3/4的三元组(a,b,c)的个数有多少?
其实就是找满足该方程的正整数解,有多少组.
不妨设 a≥b≥c,则1/a≤1/b≤1/c,因此3/a ≤ 1/a+1/b+1/c ≤ 3/c 所以有 a≥4,c≤4
当 c=1 时,方程变为 1/a + 1/b = 3/4-1 = -1/4,不符合条件
当 c=2 时,方程变为 1/a + 1/b = 3/4-1/2=1/4,又1/a≤1/b,用和上面同样的方法可以得 a≥8,b≤8,所以b可以取5,6,7,8,对应的a为20,12,28/3,8.所以这种情况下,有三组解
当 c=3 时,方程变为 1/a + 1/b = 3/4-1/3=5/12,又1/a≤1/b,可得 b≤ 24/5,即 b≤4,而b≥c,故b可取3,4,对应的a为12,6.所以这种情况下,有两组解
当 c=4时,方程变为 1/a + 1/b = 3/4-1/4=1/2,又1/a≤1/b,可得 b≤4,而b≥c,故b=4,此时a=4
综上,在满足 a≥b≥c条件下,有6个解,分别是(20,5,2),(12,6,2),(8,8,2),(12,2,2),(6,4,3),(4,4,4)
但是题目并没有指定a,b,c的大小,于是
(20,5,2) 有3x2x1=6种顺序
(12,6,2)有3x2x1=6种顺序
(8,8,2)有(3x2x1)/2=3种顺序
(12,2,2)有(3x2x1)/2=3种顺序
(6,4,3)有3x2x1=6种顺序
(4,4,4)只有一种顺序
所以总共有 6+6+3+3+6+1=25个解答,答案是B