在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数

在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数
在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数

在△ABC中,BC=2AC,∠DBC=∠ACB=120°,BD=BC,CD交边AB于点E,求∠ABC的度数
题外话：
在△ABC中,BC=2AC,∠ACB=120°.有这两个条件就可以求∠ABC的度数了
怎么中间还那么多废话...
取BD的中点M,连接AM
由于BC=2AC,有CA=CM=MB
所以△AMC是以∠ACM为顶角的等腰三角形且∠ACM=120°
所以∠CMA=∠CAM=30°
设AC=1,则CA=CM=MB=1,则AM=√3（根号3,此处怕显示不出来）
则在△AMB中,∠BMA=150°,MB=1,AM=√3（根号3,此处怕显示不出来）
由余弦定理,AB=√7（根号7,此处怕显示不出来）
继续使用余弦定理
∠ABC=∠ABM=arccos(5√7/14)

如图
（1）∵BD=BC（已知），
∴∠D=∠BCD（等边对等角）．
又∵∠DBC=120°，∠D+∠BCD+∠DBC=180°（三角形内角和定理），
∴∠D=∠BCD=30°．
∵∠ACB=120°，∠ACB=∠ACE+∠BCD，
∴∠ACE=90°；
（2）证明：过点B作BM⊥DC于点M．
在Rt△BMC中，由∠BCD=30°，得...

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如图
（1）∵BD=BC（已知），
∴∠D=∠BCD（等边对等角）．
又∵∠DBC=120°，∠D+∠BCD+∠DBC=180°（三角形内角和定理），
∴∠D=∠BCD=30°．
∵∠ACB=120°，∠ACB=∠ACE+∠BCD，
∴∠ACE=90°；
（2）证明：过点B作BM⊥DC于点M．
在Rt△BMC中，由∠BCD=30°，得BM=1/2 BC．
∵BC=2AC，
∴AC=1/2 BC，
∴BM=AC．
在△BME与△ACE中，
∵ ∠BEM=∠AEC ∠BME=∠ACE BM=AC ，
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=1/2 MC．
∵BD=BC，BM⊥DC，
∴DM=MC，
∴ME=CE=1/2 DM，
∴DE=3CE．

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