作业帮数学证明题: 设{an}{bn}是公比不等的两等比数列,Cn=an+bn,求证{cn}不是等比数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 09:58:27
数学证明题: 设{an}{bn}是公比不等的两等比数列,Cn=an+bn,求证{cn}不是等比数列
数学证明题: 设{an}{bn}是公比不等的两等比数列,Cn=an+bn,求证{cn}不是等比数列
数学证明题: 设{an}{bn}是公比不等的两等比数列,Cn=an+bn,求证{cn}不是等比数列
证明：假设{Cn}为公比为q的等比数列 设{an}的公比为q1,{bn}的公比为q2,则Cn=C1*q^(n-1) 而C1=a1+b1,故Cn=a1*q^(n-1)+b1*q^(n-1) 又因为an=a1*q1^(n-1),bn=b1*q2^(n-1)故q1=q2,与已知条件矛盾 故假设不成立.
用反证法，假设cn是等比数列
设an=a1*p^n-1
bn=b1*q^n-1 ，已知p不等于q
则cn=a1*p^n-1+b1*q^n-1
因为cn为等比数列，所以有
cn+1/cn=cn/cn-1
cn+1=a1*p^n+b1*q^n
cn-1=a1*p^n-2+b1*q^n-2
带入并化简可得 （p-q）^2=...
全部展开
用反证法，假设cn是等比数列
设an=a1*p^n-1
bn=b1*q^n-1 ，已知p不等于q
则cn=a1*p^n-1+b1*q^n-1
因为cn为等比数列，所以有
cn+1/cn=cn/cn-1
cn+1=a1*p^n+b1*q^n
cn-1=a1*p^n-2+b1*q^n-2
带入并化简可得 （p-q）^2=0,即p=q
与提设矛盾，假设错误， 所以cn不是等比数列
收起
设{an}、{bn}的公比分别为q1和q2，
C1=a1+b1
c2=a1q1+b1q2
c3=a1q1^2+b1q2^2
c2^2=(a1q1)^2+(b1q2)^2+2a1b1q1q2
c1c3=(a1q1)^2+(b1q2)^2+a1b1(q1^2+q2^2)
若c2^2=c1c3，则2q1q2=q1^2+q2^2
q1=q2
矛盾，下略