已知abc都是正数,且a+b+c=1 求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

已知abc都是正数,且a+b+c=1 求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
已知abc都是正数,且a+b+c=1 求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

已知abc都是正数,且a+b+c=1 求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
证明；(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(a+b)
≥2(bc)^(1/2)*2(ac)^(1/2)*2(ab)^(1/2)
=8abc
希望对你有所帮助

(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(a+b)
=(ab+ac+bc+c^2)(a+b)
=a^2b+a^2c+abc+ac^2+ab^2+abc+b^2c+bc^2
=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+a(c^2+b^2)+2abc
≥b*2ac+c*2ab+a*2bc+2abc
=8abc

证明：
(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(a+b)
=(ab+ac+bc+c^2)(a+b)
=a^2b+a^2c+abc+ac^2+ab^2+abc+b^2c+bc^2
=b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+a(c^2+b^2)+2abc
≥b*2ac+c*2ab+a*2bc+2abc
=8abc

(1-a)(1-b)(1-c) =(b+c)(a+c)(a+b) ≥2(bc)^(1/2)*2(ac)^(1/2)*2(ab)^(1/2) =8abc

1-a=b+c>=2根号ab
1-b=a+c》2根号ac
1-c=a+b>=2根号ab
所以：(1-a)(1-b)(1-c)≥8根号（a2b2c2）=8abc
当且仅当a=b=c时等号成立