作业帮现有两个(1,100)内的自然数,甲知道他们的和,乙知道他们的积,然后甲对乙说：我虽然不知道这两个数分别是什么,但我敢肯定你现在也不知道他们的值,乙回答说：但是现在经你一说,我已经知道
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 14:45:39
现有两个(1,100)内的自然数,甲知道他们的和,乙知道他们的积,然后甲对乙说：我虽然不知道这两个数分别是什么,但我敢肯定你现在也不知道他们的值,乙回答说：但是现在经你一说,我已经知道
现有两个(1,100)内的自然数,甲知道他们的和,乙知道他们的积,然后甲对乙说：我虽然不知道这两个数分别是什么,但我敢肯定你现在也不知道他们的值,乙回答说：但是现在经你一说,我已经知道知道这两个数字了,甲说：那么我也知道了,问这两个数字是多少
现有两个(1,100)内的自然数,甲知道他们的和,乙知道他们的积,然后甲对乙说：我虽然不知道这两个数分别是什么,但我敢肯定你现在也不知道他们的值,乙回答说：但是现在经你一说,我已经知道
这个太有难度了,一点一点来吧
咱们设这两个数是A和B,两个数的和是X,积是Y.而且X和Y是分别被两个人所已知的.
那么,咱们这么计算,当甲说乙肯定不知道这个数是多少的时候,就说明,X不是"1+质数",否则的话,A=1,那么A*B的得数.就会是B,也就是Y*1=Y,那么乙就有知道这两个数的可能.所以,X肯定是"1+合数"
但是,乙既然说"我本来不知道,但我现在知道了",那就说明,这个Y,是两个质数的乘积,只存在两种构成方式,1*本身,还有就是另外两个质数相乘,也就是A*B.那么,我们想想,1-100里一共有多少个质数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,
41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.A和B就是其中的两个.
那么现在再回到甲这里,乙的话就等于是在告诉他,这个Y的特殊属性,那么,甲也可以根据这一条件,知道了这两个数分别是什么.
可是,陷阱就在这里,甲手中拿的数也需要有唯一性,也就是说,这个X只有一种可以分成两个质数的情况.所以,任意两个质数的和与另外两个质数和相同的情况就被消除了,也就是说,当两个质数的差等于另外两个质数的差的时候,这个情况就不存在了.
所以,把我上面写下来的数字做个数列差的话,就会发现,5以上的任何质数与11以上任何质数的和都不满足条件,3与13以上所有质数的和也一样不满足条件,那么,其他的组合只有2和所有质数,3和5,3和7,5和7,3和11.而3和5,5和7,3+11又不满足第一个条件,因为8和12都是"1+质数".
那么,唯一能够满足条件的就是3+7了,虽然10可以是5+5,但是根据题目的意思,应该不允许是两个一样的数字.
我认为,这个题的的答案就是A=3,B=7.或者是A=2,B=100以内任何一个质数.
当然,我一直在思考怎么能够把2的可能去掉,这样,唯一的结果就是3和7,但是比较遗憾,我还是没有办法,因为2和任何一个质数相加,结果都可以满足整个题目的条件,所以就得根据两个人的已知数值来做最后的限定了
但是,如果把题目换一下,是2-100的话,我就知道怎么算了.
1、甲能确定乙肯定不知道这两个数,可以有这样几个推论.
A）甲手上的数字是5-197之间的数字.
B）甲的和数一定不能拆成两个质数之和,否则就不会有确信.这可以分解为两点：甲手上不是偶数,只可能是奇数,因为任意偶数能被拆成两个质数之和,这是由歌德巴赫猜想来保证；甲手上的奇数不是2+质数.举例：如果甲手上是28,根据歌德巴赫猜想可以拆成11+17,当乙拿到了181这个积,马上就可以猜出他拿的两个数是11和17,与甲肯定乙不知道这两个数相矛盾,因此将所有偶数排除.举例：当甲手上的数为质数+2时,例如21,而正好是19+2,那样乙手上的数是38,只有一种分解方法2*19,因此乙同样一开始就能确定这两个数字.
C)甲的和数一定不是大于53的奇数.因为大于53的奇数始终能够拆成偶数和53（是质数）的乘积,这个乘积只能唯一的推断出53和该偶数的乘积,否则就要大于99了.另外97是质数,同理应该排除97+2到97+98的所有奇数.最后剩下的是99+98的奇数（100是不需要考虑的）,因为都是最大的数,乙本来就可以推理出来,与乙本来不知道的前提相矛盾,自然排除了.因此由此可以排除超过53以上的所有奇数.举例：如果甲手上的数字是59,那有一种可能是53+6,当乙拿到318时也只有一种分解方式是53*6,因为106*3和159*2中的106和159都大于了99这个最大的数字,因此这与乙事先不能肯定相矛盾.同理可以推理到195=97+98这中间的所有奇数都被排除,因为97是质数.
因此,当甲手上是53以上的奇数不会有这种把握乙肯定不知道这两个数.
D）这样的数字有10个：11,17,23,27,29,35,37,47,51,53.
2、乙知道自己手中的积,并说本来不知道,但现在知道了.意味着,乙看了自己手上的积后分解因式对应的所有组合的和,只可能是上述10个数中的一个.也就是10个和数拆开的乘积不于其他和数拆开乘积重合的才可能是乙的积.这种积有许多种,关键是甲的第三句话.
3、甲是知道自己手中的和数,当乙说了这句话的时候,甲说也知道这两个数字了,那甲手上的和数有一个特点,就是除一个例外的可能积,其他所有可能的积都包含在其他9个和数的可能积中间,否则甲没有这种自信.也就是在10个和数中找出积的数组合中只有唯一一对数不出现在其他数字的积组合中,而所有其他任一数字的积组合必然有多对超出另外9个和数的积组合.
注意2、和3、小点中只有甲和乙知道自己手中的数字的时候才敢讲这话,说明是有针对性的唯一的.仔细体会这点.
本人排出来是4和13.和数17,积为52.
17可以拆成（2+15）,（4+13）,（6+11）,（8+9）,（10+7）,（12+5）,（14+3）.
2*15=6*5,被和为11的包括了；6*11=33*2,被和为35的包括了；8*9=24*3,和为27；10*7=35*2,和为37；12*5=20*3,和为23；14*3=21*2,和为23.惟独4*13是不能被另外所有9个数组合出来的积所覆盖.
所以,如果排除那个最特殊的“1”的话,这个题目就有了唯一的解,也就是4和13