数列{an}中,a1=1,an+₁=an+3^(n-1),求{an}的通项公式

数列{an}中,a1=1,an+₁=an+3^(n-1),求{an}的通项公式
数列{an}中,a1=1,an+₁=an+3^(n-1),求{an}的通项公式

数列{an}中,a1=1,an+₁=an+3^(n-1),求{an}的通项公式
a1=1, a(n+1)=an+3^(n-1)
推得a(n+1)-an=3^(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-3)
...
a2-a1=3^0=1
叠加an-a1=1+3+3^2+...+3^(n-2)=[3^(n-1)-1]/(3-1)
解得an=(1/2)*3^(n-1)+1/2
当n=1时 a1=(1/2)*3^0+1/2=1与已知符合
所以通项公式为an=(1/2)*3^(n-1)+1/2

　an+₁=an+3^(n-1)　,则3（an+1/3^(n+1))=an/3^n+1/3,
用待定系数法得3{（an+1/3^(n+1))-1/6}=an/3^n-1/6，
则{an/3^n-1/6}是以a1/3^1-1/6=1/6为首项，1/3为公差的等比数列
所以an/3^n-1/6=（1/6）×（1/3^n）
化简得an=(1+3^（n-1）)/2
将a1代入成立

an=(1/2)*3^(n-1)+1/2