作业帮请证明下面命题已知AB为圆上的不是直径,D.E.F.G均为圆上的点,DC垂直AB,证明(AD+DB)>(AE+EB)>(AF+FB)>(AG+GB)注意：AB不为圆上的直径
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/04 01:55:32
请证明下面命题已知AB为圆上的不是直径,D.E.F.G均为圆上的点,DC垂直AB,证明(AD+DB)>(AE+EB)>(AF+FB)>(AG+GB)注意：AB不为圆上的直径
请证明下面命题
已知AB为圆上的不是直径,D.E.F.G均为圆上的点,DC垂直AB,证明(AD+DB)>(AE+EB)>(AF+FB)>(AG+GB)
注意：AB不为圆上的直径请证明下面命题已知AB为圆上的不是直径,D.E.F.G均为圆上的点,DC垂直AB,证明(AD+DB)>(AE+EB)>(AF+FB)>(AG+GB)注意：AB不为圆上的直径
“数学之美”团员448755083为你解答!
∠ADB = ∠AEB = ∠AFB = ∠AGB=α
在△ADB和△AEB中运用余弦定理可得
AB² = AD² + BD² - 2AD·BDcosα = AE² + BE² - 2AE·BEcosα
(AD + BD)² - 2AD·BD(1 + cosα) = (AE + BE)² - 2AE·BE(1 + cosα)
(AD + BD)² - (AE + BE)² = 2(AD·BD - AE·BE)(1 + cosα)
∵1 + cosα ＞ 0
∴需要判断的就是AD·BD - AE·BE的符号
又有三角形面积
S△ABD = 0.5AD·BDsinα
S△ABE = 0.5AE·BEsinα
这两个三角形同底AB,地边上高显然是△ABD大,因此有S△ABD＞S△ABE
可得AD·BD - AE·BE ＞ 0
继而有(AD + BD)² - (AE + BE)² ＞0
AD + BD ＞ AE + BE
如不满意请反馈追问!设圆心为O, E点视为动点, 由D移动至B. 欲证|AE|+|EB|递减.设半径为r, 角AOD=a, 角DOE=t, 则 t<=a
由馀弦定律,
|AE| = 根号( |AO|^2+|OD|^2-2|AO||OD|cos(a+t) )
= 根号( r^2 + r^2 - 2*r*r cos(a+t) )
= 根号( 2(r^2)(1- co...全部展开
设圆心为O, E点视为动点, 由D移动至B. 欲证|AE|+|EB|递减.设半径为r, 角AOD=a, 角DOE=t, 则 t<=a
由馀弦定律,
|AE| = 根号( |AO|^2+|OD|^2-2|AO||OD|cos(a+t) )
= 根号( r^2 + r^2 - 2*r*r cos(a+t) )
= 根号( 2(r^2)(1- cos(a+t)) )
= 根号( 2(r^2)(1- ( 1 - 2 sin^2( (a+t)/2 ) ) )
= 根号( 4(r^2) sin^2( (a+t)/2 ) ) )
= 2r sin( (a+t)/2 )
|EB| = 根号( |AO|^2+|OD|^2-2|AO||OD|cos(a-t) )
= ...
= 2r sin( (a-t)/2 )
|AE|+|EB|
= 2r ( sin(a/2+t/2) + sin(a/2-t/2) )
= 4r ( sin(a/2)cos(t/2) )
由於cos递减, 所以此式随t递减.收起
