作业帮已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程我怎么化都不对.答案是u''(t)=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/28 12:44:59
![已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程我怎么化都不对.答案是u''(t)=0](/uploads/image/z/14303222-62-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%28y%27%27%29%2A%5B%281%2Bx%5E2%29%5D%5E2%3Dy%EF%BC%9B%E9%80%9A%E8%BF%87%E5%8F%98%E6%8D%A2y%3Du%28t%29sect+%3Bx%3Dtant%2C%E5%B0%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%8C%96%E4%B8%BAu%E5%85%B3%E4%BA%8Et%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%88%91%E6%80%8E%E4%B9%88%E5%8C%96%E9%83%BD%E4%B8%8D%E5%AF%B9.%E7%AD%94%E6%A1%88%E6%98%AFu%27%27%28t%29%3D0)
已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程我怎么化都不对.答案是u''(t)=0
已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程
我怎么化都不对.答案是u''(t)=0
已知微分方程(y'')*[(1+x^2)]^2=y；通过变换y=u(t)sect ;x=tant,将方程化为u关于t的方程我怎么化都不对.答案是u''(t)=0
首先y=u(t)sect ,x=tant,
则dy=u'sect+usect*tgt,dx=sect*sect
则dy/dx=u'cost+usint
令v=dy/dx=u'cost+usint
则dv=u''cost-u'sint+u'sint+ucost=(u''+u)cost
则y''(关于x)=dv/dx=(u''+u)cost/(sect*sect)=(u''+u)(cost)^3
所以有(y'')*[(1+x^2)]^2=y
得到：(u''+u)*(cost)^3*(sect)^4=usect
所以u''+u=u
所以u''=0(关于t的二次导数)
.
这个问题可以考虑一下换元
因为x^2大于等于零恒成立，将其换成t，这样就变成了证明t>ln(1+t)的问题了，得到了简化。因为x^2>0(x 不等于零时）
而欲证明t>ln(1+t)可以两边取e的指数，就变成了e^t>1+t的问题了
令 f( t)= e^t-t,则
f“（t)=e^t-1,而t>0恒成立，即：f“（t)>0恒成立
即...
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这个问题可以考虑一下换元
因为x^2大于等于零恒成立，将其换成t，这样就变成了证明t>ln(1+t)的问题了，得到了简化。因为x^2>0(x 不等于零时）
而欲证明t>ln(1+t)可以两边取e的指数，就变成了e^t>1+t的问题了
令 f( t)= e^t-t,则
f“（t)=e^t-1,而t>0恒成立，即：f“（t)>0恒成立
即；f( t)>e-1>1成立
原式在x 不等于零时成立
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