已知五角星的外接圆半径,如何求五角星十个顶点的坐标?（有图示更好）

已知五角星的外接圆半径,如何求五角星十个顶点的坐标?（有图示更好）
已知五角星的外接圆半径,如何求五角星十个顶点的坐标?（有图示更好）

已知五角星的外接圆半径,如何求五角星十个顶点的坐标?（有图示更好）
郭敦顒回答：
设五角星的外接圆圆心为O,半径r=10（单位长）,上顶点为A（0,10）,⊙O（外圆）上的其它4点按逆时针方向依次为：B、C、D、E；内圆下顶点为F,其它4点依次为G、H、I、J,连OA、OB、OC、OD、OE,OF、OG、OH、OI、OJ则AIJC,AHGD,BIHE,BJFD,EGFC均为直线,共5条,
∠EOA=360°/5=72°,OE与X轴的夹角θ=90°－72°=18°,E的坐标为E（x5,y5）,则x5=10 cos18°=9.5106,y5=10sin18°=3.0902,
E的坐标为E（9.5106,3.0902）.
∵点B与E关于Y轴对称,∴B的坐标为B（－9.5106,3.0902）.
K是BIHE的中点,且OA⊥BE,∴OK=3.0902,
∠AOH=72°/2=36°,H的坐标为H（x8,y8）,则
x8=3.0902 tan 36°=2.2452,y8=3.0902,
∴H的坐标为H（2.2452,3.0902）,OH=√（2.2452²+3.0902²）=3.8197.
∵点I与H关于Y轴对称,∴I的坐标为I（－2.2452,3.0902）.
OH=3.8197,OF=OH,∴OF=3.8197,
F的坐标为F（0,－3.8197）.
∵∠COF=36°,C的坐标为C（x3,y3）,则
x3=－10 sin36°=－5.8779,y3=－10 cos36°=8.0902,
∴C的坐标为C（－5.8779,－8.0902）.
∵点D与C关于Y轴对称,∴D的坐标为D（5.8779,－8.0902）.
∵OG=OF=3.8197,OG与X轴的夹角为－θ=－18°
G的坐标为G（x6,y6）,
则x6=3.8197cos（－18°）=3.6328,y6=3.8197 sin（－18°）=－1.1804,
∴G的坐标为G（3.6328,－1.1804）.
∵点J与G关于Y轴对称,∴J的坐标为J（－3.6328,－1.1804）.
 
 


                            A
 
 
 
 
           B          I     K  H          E
 
                          O                    X
                   J               G     
                                  
                            F
 
 
                C                     D
               
 
 

外点

x=Rcos(72°*k)  y=Rsin(72°*k)   k=0,1,2,3,4

内点

r=Rsin18°/sin36°

x=rcos(72°*k+36°)  y=rsin(72°*k+36°)   k=0,1,2,3,4

已知五角星的外接圆半径，如何求五角星十个顶点的坐标？
不失一般性，设园的半径r=1；那么五角星的五个顶点把园周五等分。
设五个顶点按逆时针方向排列，依次为A₀，A₁，A₂，A₃，A₄；
取A₀(1，0)；A₁(cos72º，sin72º)；A₂(cos144&...

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已知五角星的外接圆半径，如何求五角星十个顶点的坐标？
不失一般性，设园的半径r=1；那么五角星的五个顶点把园周五等分。
设五个顶点按逆时针方向排列，依次为A₀，A₁，A₂，A₃，A₄；
取A₀(1，0)；A₁(cos72º，sin72º)；A₂(cos144º，sin144º)；A₃(cos216º，sin216º)；A₄(cos288º，sin288º)。
由于sin18º=(√5-1)/4；所以cos72º=sin18º=(√5-1)/4；sin72º=√(1-cos²72º)=(1/4)√(10+2√5)；
因此A₁(cos72º，sin72º)=（(√5-1)/4，(1/4)√(10+2√5))；
A₂(cos144º，sin144º)=(-(√5+1)/4，(1/4)√(10-2√5))；
A₃(cos216º，sin216º)=(-(√5+1)/4，-(1/4)√(10-2√5))；
A₄(cos288º，sin288º)=((√5-1)/4，-(1/4)√(10+2√5)).

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如图，

A（rcos18°，rsin18°）

B（rcos90°，rsin90°）

C（rcos162°，rsin162°）

D（rcos234°，rsin234°）

E（rcos306°，rsin306°）

OF=rsin18°/sin126°=r'

F（r'cos54°，r'sin54°）

G（r'cos126°，r'sin126°）

H（r'cos198°，r'sin198°）

I（r'cos270°，r'sin272°）

J（r'cos342°，r'sin342°）

外点
x=Rcos(72°*k) y=Rsin(72°*k) k=0,1,2,3,4
内点
r=Rsin18°/sin36°
x=rcos(72°*k+36°) y=rsin(72°*k+36°) k=0,1,2,3,4
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huamin8000 | 2012-12-05