已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 16:07:39
已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明
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已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明
已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1
设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明.

已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1设P为椭圆上的动点,过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点?如果过定点,请求出这个定点坐标并证明
过定点（0,0）.
思路提示：先特殊,后一般.
先考虑动点在椭圆的顶点上,取点（2,0）,
设两直线方程分别为：y=k(x-2),y=-1/4k*(x-2),
代入椭圆的方程：x^2/4+y^2=1,得：
M(2(4k^2-1)/(4k^2+1),-4k/(4k^2+1)),N(2(1-4k^2)/(4k^2+1),4k/(4k^2+1))
可知MN过（0,0）.（ MN的中点为（0,0） ）
同理取其他顶点,也可知：MN过（0,0）.
再考虑动点不在椭圆的顶点上,
设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)
有 x0^2/4+y0^2=1,.（1）
x1^2/4+y1^2=1.（2）
x2^2/4+y2^2=1.（3）
(1)-(2)：-1/4*(x0-x1)(x1+x0)=(y0-y1)(y0+y1)
(y0-y1)/(x0-x1)=-1/4*[(x0+x1)/(y0+y1)]=k1
(1)-(3)：-1/4*(x0-x2)(x2+x0)=(y0-y2)(y0+y2)
(y0-y2)/(x0-x2)=-1/4*[(x0+x2)/(y0+y2)]=k2
k1*k2=-1/4
[(y0-y1)/(x0-x1)]*[(y0-y2)/(x0-x2)]=[(y0^2+y1y2)-(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)-(x1+x2)x0]=-1/4
[(y0^2+y1y2)+(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)+(x1+x2)x0]=-1/4
利用比的性质,得：
(y0^2+y1y2)/(x0^2+x1x2)=(y1+y2)y0/(x1+x2)x0=-1/4
y1+y2=-1/4*(y0/x0)*(x1+x2) （ MN中点为：( (y1+y2)/2,(x1+x2)/2) ）
所以 y=-1/4(y0/x0)*x
所以此即为直线MN的方程,其过点（0,0）.

用向量来证

设椭圆的方程为x^2/16 + y^2/12 =1,则该椭圆的离心率为 设椭圆的方程为x^2/16+y^2/12=1,则该椭圆的离心率为 设椭圆方程为x^2/4+y^2=1,则过点P（0,4）的椭圆的切线方程为 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√2/2直线n:y=1与椭圆C1相切(1)求椭圆C1方程(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y^2=4x相切,求直线l方程. 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√2/2直线n:y=1与椭圆C1相切(1)求椭圆C1方程(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y^2=4x相切,求直线l方程 数学题：椭圆 抛物线已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一条准线方程x=9/根号5,且该椭圆上的点到右焦点的最近距离为3-根号5（1）求椭圆方程（2）设F1,F2是椭圆左右两焦点,A是椭圆与y轴负半轴的 已知椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1,求以椭圆的焦点为焦点,离心率为根号2的双曲线方程 已知椭圆c的中心在坐标原点,长轴长为4,且抛物线y方=4x的准线领过椭圆的一个焦点,求椭圆方程,2,设过焦点f的直线y=k（x-1）,k不等于0,交椭圆与ab两点,试问在x轴是否存在定点p让pf始终评分角apb. 椭圆最大距离已知：椭圆方程为：x^2/4+y^2=1,圆方程为x^2+(y-4)^2=4,求椭圆上的点到圆上的点的最大距离 已知椭圆 + =1内有一点P(1,-1),F为椭圆的右焦点,M为椭圆上的一个动点,则|MP|+|MF|的最大值为椭圆方程为: x^2/4+y^2/3=1 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为根号3/2.求已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0）（1）若椭圆的长轴长为4,离心率为根号3/2.求椭圆的标准方程（2）在（1）的条件下,设 高中数学 椭圆方程 求救!1.设椭圆方程C: X平方/a平方+y平方/b平方=1 过点（0.4） 离心率为3/5 问题：求椭圆c的方程?2已知点P1 P2 分别是椭圆x平方/r+2 + y平方/r+1 =1 （r＞-1）的左右焦点,弦AB过点F 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1.0)且点p(0.1)在C1上.1求椭圆C1的方程2设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y^2=4x相切,求直线l的方程 已知椭圆c:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆 椭圆的短半轴为半径的圆椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+√6=0相切.（1）求椭圆C的方程（2）设P（4,0）,A、B是 已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为1/2,直线x=2被椭圆E截得的弦长为6,设F的椭圆E的右焦点,A为椭圆E的左顶点.求椭圆E的方程 已知椭圆方程为(x^2/9)+(y^2/3)=1,设直线l:y=kx-2与椭圆交于A,B两点,点P(0,1),且PA的绝对值=PB的绝对值 求解一道高中数学题（求椭圆离心率的取值范围）已知椭圆方程为x^2/4+y^2/(4t^2)=1(t>0),F1、F2为椭圆的两焦点,M为椭圆上任一点,且M不与长轴两端点重合.设∠M F1F2=a,∠MF2F1=b.若1/3 已知椭圆方程为x^2/16+y^2/4=1.求:以椭圆左焦点为圆心,长半轴的长为半径的圆的方程.