如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面ΔBC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为——————

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/23 21:49:09

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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面ΔBC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为——————
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面ΔBC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为——————

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面ΔBC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为——————
º依题意,设底边长为a,高为b,则：在Rt△A1DC1中,C1D²=A1D²+A1C1²=b²/4+a²;
在Rt△ABD中,BD²=AD²+AB²=b²/4+a²; C1D²=BD²; C1D=BD; ∠C1DB=90º;
∠DC1B=∠DBC1=(180º-∠BDC1)/2=(180º-90º)/2=45º;
△BC1D的面积=(BD×C1D)/2=BD²/2=6; BD²=12; BD=2√3=C1D;
C1B²=C1D²+BD²=2BD²; C1B=√2BD=2√6;
在Rt△BCC1中,C1B²=BC²+CC1²=a²+b²=(2√6)²=24;
a²=24-b²;
BD²=b²/4+a²=12; a²=12-b²/4=24-b²; 3b²/4=12; b²=16; b=4; a²=24-b²=24-16=8;
△ABC为等边三角形,它的面积为(a²sin60º)/2=√3a²/4=2√3;;
此三棱柱体积=△ABC面积×高=2√3×4=8√3;