已知a是非零常数,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x,x∈R 求函数在[0,π/2]上的最大值、最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 07:09:50
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已知a是非零常数,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x,x∈R 求函数在[0,π/2]上的最大值、最小值
已知a是非零常数,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x,x∈R 求函数在[0,π/2]上的最大值、最小值
已知a是非零常数,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x,x∈R 求函数在[0,π/2]上的最大值、最小值
f(x)=a(cosx)^2+sin2x
=(a/2)cos2x+sin2x+a/2
=sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4)+ a/2
(其中,sinA=a/√(4+a^2))
当a>0时,A∈(0,π/2),
∵x∈[0,π/2],则A≤2x+A≤π+A =>sinA≤sin(2x+A) ≤1
=> a/√(4+a^2) ≤sin(2x+A) ≤1
=> a/2≤sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4) ≤√(1+(a^2)/4)
=> a≤f(x) ≤√(1+(a^2)/4)+ a/2
当asinA≤sin(2x+A) ≤1
=>a/√(4+a^2) ≤sin(2x+A) ≤1
=> a/2≤sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4) ≤√(1+(a^2)/4)
=> a≤f(x) ≤√(1+(a^2)/4)+ a/2
综上所述,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x在[0,π/2]上的
最大值为√(1+(a^2)/4)+ a/2=(a+√(4+a^2))/2,
最小值为a.
解
f(x)=a(1+cos2x)/2+sin2x
=a/2+a/2*cos2x+sin2x
=a/2+根号(1+a^2/4)sin(2x+t)
因为-1<=sin(2x+t)<=1
所以,当a<0时,函数有最小值=a/2-根号(4+a^2)/2
当a>0时,函数有最大值=a/2+根号(4+a^2)/2