一道很难的奥数题.记S=(1×2×3×…×n)+(4k+3),这里n≥3.当k在1至100之间取正整数值时,有多少个不同的k,使得S是一个正整数的平方.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/19 09:20:35
一道很难的奥数题.记S=(1×2×3×…×n)+(4k+3),这里n≥3.当k在1至100之间取正整数值时,有多少个不同的k,使得S是一个正整数的平方.
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一道很难的奥数题.记S=(1×2×3×…×n)+(4k+3),这里n≥3.当k在1至100之间取正整数值时,有多少个不同的k,使得S是一个正整数的平方.
一道很难的奥数题.
记S=(1×2×3×…×n)+(4k+3),这里n≥3.当k在1至100之间取正整数值时,有多少个不同的k,使得S是一个正整数的平方.

一道很难的奥数题.记S=(1×2×3×…×n)+(4k+3),这里n≥3.当k在1至100之间取正整数值时,有多少个不同的k,使得S是一个正整数的平方.
任何正整数数不是奇数就是偶数,也就是正整数可以表示为
{Z | Z = 2T 或 Z = 2T - 1 (T属于正整数)}
因此Z的平方
Z^2 = (2T)^2 = 4*T^2

Z^2 = (2T - 1)^2 = 4*T^2 - 4T + 1 = 4(T^2 - 1) + 1
即有:任何正整数的平方数被4除的余数仅有0、1这两种.
对S = N!+ (4K + 3)来说
当N≥4时,N!必能被4整除(因含因数4),S必为被4除余3的数,根据上面推导,S必不可能为某一正整数的平方.
因此仅存N = 3的情况.当N = 3时,
S = 1×2×3 + 4K + 3 = 9 + 4K
1 ≤ K ≤ 100
13 ≤ S ≤ 409
在此范围内的完全平方数有4^2 = 16、5^2 = 25……、20^2 = 400
这 20 - 4 + 1 = 17 个.按这些平方数求出K 即可.

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