作业帮在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E求证AC×AF＝DF×FE
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 13:34:41
在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E求证AC×AF＝DF×FE
在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E
求证AC×AF＝DF×FE
在圆内接四边形ABCD中,CD为角BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E求证AC×AF＝DF×FE
∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由"圆的内接四边形外角等于它的内对角"知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC：FE=CD：AF
AC×AF＝DF×FE
证明：由题意有∠MCD=∠ACD=∠DBA，
又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∴∠DAB=∠DBA即△．
ABD为等腰三角形．
∴AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴弧CD=弧DF，∴弧CD=弧DF…①
又BC=AF，∴∠BDC=∠ADF，∠BDC+∠BDA=∠ADF...
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证明：由题意有∠MCD=∠ACD=∠DBA，
又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∴∠DAB=∠DBA即△．
ABD为等腰三角形．
∴AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴弧CD=弧DF，∴弧CD=弧DF…①
又BC=AF，∴∠BDC=∠ADF，∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴即CD•EF=AC•AF
又由①有AC•AF=DF•EF命题即证
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