若x∈(0,π),且sinx+cosx=-1/3,则cos2x=?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/20 16:51:25
若x∈(0,π),且sinx+cosx=-1/3,则cos2x=?
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若x∈(0,π),且sinx+cosx=-1/3,则cos2x=?
若x∈(0,π),且sinx+cosx=-1/3,则cos2x=?

若x∈(0,π),且sinx+cosx=-1/3,则cos2x=?
∵x∈(0,π)
∴2x∈(0,2π)
∵sinx+cosx=-1/3
∴(sinx+cosx)²=1+2sinxcosx=1+sin2x=1/9
∴sin2x=-8/9
∴2x∈(π,2π)
∴cos2x=±√[1-(-8/9)²]=±√(17/81)=±√17/9

∵x∈(0,π)
∴sinx>0
∵sinx+cosx=-1/3
∴cosx<0,|cosx|>sinx
∴x∈(π/2,π),|cosx|=|sin(x-π/2)|=sin(x-π/2)>sinx=sin(π-x)
∵x-π/2∈(0,π/2),π-x∈(0,π/2),
∴x-π/2>π-x
∴x∈(3π/4,π/)
∴2x∈(3π...

全部展开

∵x∈(0,π)
∴sinx>0
∵sinx+cosx=-1/3
∴cosx<0,|cosx|>sinx
∴x∈(π/2,π),|cosx|=|sin(x-π/2)|=sin(x-π/2)>sinx=sin(π-x)
∵x-π/2∈(0,π/2),π-x∈(0,π/2),
∴x-π/2>π-x
∴x∈(3π/4,π/)
∴2x∈(3π/2,2π)
∴cos2x>0,
将等式sinx+cosx=-1/3两侧平方得sin²x+2sinxcosx+cos²x=1/9
∴2sinxcosx=sin2x=-8/9
∴cos2x=√17/9,

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