已知方程y^2-6ysinα-2x-9cos^2α+8cosα+9=0,问:求证,(1)不论@如何变化,方程都表示顶点在同一个椭圆上的抛物线,(2)α为何值时,该抛物线在直线x=14上截得弦最长,求出此弦长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 13:33:53
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已知方程y^2-6ysinα-2x-9cos^2α+8cosα+9=0,问:求证,(1)不论@如何变化,方程都表示顶点在同一个椭圆上的抛物线,(2)α为何值时,该抛物线在直线x=14上截得弦最长,求出此弦长
已知方程y^2-6ysinα-2x-9cos^2α+8cosα+9=0,问:求证,(1)不论@如何变化,方程都表示顶点在同一个椭圆上的抛物线,(2)α为何值时,该抛物线在直线x=14上截得弦最长,求出此弦长
已知方程y^2-6ysinα-2x-9cos^2α+8cosα+9=0,问:求证,(1)不论@如何变化,方程都表示顶点在同一个椭圆上的抛物线,(2)α为何值时,该抛物线在直线x=14上截得弦最长,求出此弦长
1)
y²-6ysinα-2x-9cos²α+8cosα+9=0
变形为 x=y²/2-3ysinα-1/2(9cos²α-8cosα-9)
这是一个对称轴平行于X轴的抛物线
其顶点坐标是 x=3sinα
y=(-9cos²α+8cosα+9-9sin²α)=8cosα
于是有 sinα=x/3 cosα=y/8
∴x²/9+y²/64=1 即这条抛物线的顶点坐标满足这个椭圆方程,也就是顶点恒在此椭圆上
2)
当x=14时,有
y²-6ysinα-9cos²α+8cosα-5=0
这个关于y的一元二次方程的两个根是抛物线在直线x=14上截得的弦的两个端点的纵坐标
∴y1+y2= 6sinα y1y2=-9cos²α+8cosα-5
那么弦长为
|y1-y2|=√(y1-y2)²=√[(y1+y2)²-4y1y2]=√(36sin²α+36cos²α-32cosα+20)
=√(56-32cosα)
当 cosα=-1时,56-32cosα=56+32=88 取得最大值
∴当 α=(2k+1)π (k是整数)时所截得的弦长|y1-y2|最长,长度为2√22