作业帮一道波兰竞赛题的解答
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 10:43:29
一道波兰竞赛题的解答
一道波兰竞赛题的解答
一道波兰竞赛题的解答
对“一道物理竞赛题”的补充拓宽
作者:赵坚 昆明第十四中学
（原载《物理通报》1994年第7期）
《物理通报》1993年第5期,登载了赵卫强同学所写《一道物理竞赛题的解法》一文,文中对第九届全国中学生物理竞赛江苏区决赛试题中的一个题进行了分析求解,过程清楚、明了.过去,笔者在辅导学生竞赛中,也曾用过此题,现把它介绍出来,以便使原题更加完善、丰富.
【原题】有一质量为m的小珠,穿在竖直放置的半径为R的光滑圆环上,且用一劲度系数为 ,原长为R的弹簧连接,弹簧的另一端固定在圆环的最高点A,（如图所示）,若小珠在和A点相距为原长的B点静止下放,求:
（Ⅰ）在小珠下滑过程中对圆环的压力.
（Ⅱ）试推导出小珠能到达C点,题中各给定量须满足的条件.
（Ⅲ）试分析小珠沿圆环的诸平衡位置,并讨论C点是否为一稳定平衡点.
（Ⅳ）求出小珠到达C点时的速率.
（Ⅰ）（见本刊1993年第5期）
（Ⅱ）如图1所示,考虑在圆环上的任一点M,此时小珠受三个力作用:小珠重力、弹簧的弹力和圆环的反作用力,由于AB=R时,弹簧无形变,故开始时没有弹力作用在小珠上.依题意,选取C点为势能参考点,根据系统能量守恒,有:
在B点:EKB = E弹B = 0
又EPB = EPM + E弹M + EKM ①
式中:EPM、E弹M、EKM分别为小珠在M点时的重力势能、弹性势能和动能.
显然:要使小珠能到达C点,仅当
EPM = EPB －EPC －E弹C ≥ 0 ②
时才行.由于当小珠从B到C的过程中,EPB－EPM和E弹M均为增函数,因此计算出
EPB－EPM = mgR ③
E弹M = ④
把③、④式代入②式,整理得m≥
这就是所应满足的条件.不妨把 代入可知:m≥
即:所给 满足此条件.
（Ⅲ）如图2所示,假设小珠在某点P处于平衡,则它所受的重力和弹力必在沿P点的圆环切线方向有相等的分量,即:
F弹 ⑤
式中:,由于 ,故
F弹 = ⑥
把⑥式代入⑤式,并注意到 ,有:
⑦
显然:要使⑦式成立,须满足:
或 ⑧
如果⑧式成立,考虑到0＜ ＜1,故2（KR－mg）＞KR,因此
m＜ ⑨
现把 代入⑨式有:,可以看出,当 时,m＜ 不成立,这就说明了在原题所给条件的限制下,⑧式不给出平衡位置.
那么原题中的C点是否为平衡稳定位置呢?
现再来考虑,当小珠在C点稍有偏离时的情况;此时,由于重力贡献,小珠将被推回C点,然而弹簧的贡献则会把小珠从C点拉开,所以在C点稳定平衡的条件为:重力的切向分量应大于弹力的切向分量,即:
Gt＞F弹t （如图3所示）
设∠OAP=α有:＞ ⑩
由于在靠近C点时,弹簧伸长接近R,且 ,于是⑩式变为:
＞
故如果满足:m＞ ,则C点为稳定位置.
为此,我们把 代入验证有:
m＞ 成立.
这就说明原题中C点是稳定平衡点.
（Ⅳ）当小珠在C点时,利用能量守恒有:
EKC = EPB － EPC － E弹C
于是: