作业帮已知a＞0,b＞0,2c＞a+b,求证：c^2＞ab.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/18 00:34:43
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已知a＞0,b＞0,2c＞a+b,求证：c^2＞ab.
已知a＞0,b＞0,2c＞a+b,求证：c^2＞ab.
已知a＞0,b＞0,2c＞a+b,求证：c^2＞ab.
证明:
∵ 2c＞a+b
∴ c＞(a+b)/2
∴ c^2＞(a^2+2ab+b^2)/4
假设:(a^2+2ab+b^2)/4 = ab
则有:a^2+2ab+b^2 = 4ab
a^2-2ab+b^2 = 0
(a-b)^2 = 0
a-b = 0
a = b .
显然:
1:当 a = b 时,有:
(a^2+2ab+b^2)/4 = ab
∵ c^2＞(a^2+2ab+b^2)/4
∴ c^2＞ab
2:当 a ≠ b 时,有:
a - b ≠ 0
(a-b)^2 ＞ 0
a^2-2ab+b^2 ＞ 0
a^2+2ab+b^2 ＞ 4ab
(a^2+2ab+b^2)/4 ＞ ab
∵ c^2＞(a^2+2ab+b^2)/4
∴ c^2＞ab
证毕.