作业帮椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 01:05:43
![椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.](/uploads/image/z/1470527-71-7.jpg?t=%E6%A4%AD%E5%9C%86x%26sup2%3B%2Fa%26sup2%3B%2By%26sup2%3B%2Fb%26sup2%3B%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9A%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%8E%9F%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%82%B9%E4%B8%BAB%2CF%E4%B8%BA%E5%85%B6%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5AF%E2%8A%A5BF%2C%E8%AE%BE%E2%88%A0ABF%3D%CE%B1%2C%E4%B8%94%CE%B1%E2%88%88%EF%BC%88%CF%80%2F12%2C%CF%80%2F4%5D%2C%E6%B1%82%E8%AF%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈（π/12,π/4],求该椭圆离心率的取值范围.
∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′| ∴|AF|+|BF|=2a ……①
O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα ……②
|BF|=2ccosα ……③
②③代入① 2csinα+2ccosα=2a
∴c/a=1/(sinα+cosη)
即e=1/(sinα+cosα)=1/√2sin(α+π/4)
∵π/3
直角三角形ABF斜边中线即OF，故
AO=BO=OF=c
∠AOF=2α
有椭圆第二定义：
AF=e*2csinα=a2/c - ccos2α
下面自己算吧~~~~~
上面解法比我的简单啦，你用他的了，呵呵
本少是一类本科，当年数学还是挺牛的，可是看了楼主的问题，我特想跳楼。
由题意可以假设A点坐标（acosθ，bsinθ），则B点坐标为（-acosθ，-bsinθ）
C点坐标（c,0）
当然a²-b²=c²-----------------------------------------------①
因为AF⊥BF，可以根据向量知识得出：c²-a²cos²θ-b²sin...
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由题意可以假设A点坐标（acosθ，bsinθ），则B点坐标为（-acosθ，-bsinθ）
C点坐标（c,0）
当然a²-b²=c²-----------------------------------------------①
因为AF⊥BF，可以根据向量知识得出：c²-a²cos²θ-b²sin²θ=0
整理得到（a²-c²）/（a²-b²）=sin²θ
继续整理得到：e²=1/(1+sin²θ)-------------------------------②
另外，很容易得出Rt△ABF斜边中线为OF，所以得到
BF=2c*cosα
又因为通过向量BF可以得到BF=√[（acosθ+c）²+b²sin²θ]--------③
还有α∈（π/12,π/4],所以得到cosα∈[√2/2,(√6+√2)/4)-------④
由①②③④联立可以知道：
e的范围……
收起