作业帮导数的定义与计算定积分 综合
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 23:00:26
导数的定义与计算定积分 综合
导数的定义与计算
定积分
综合
导数的定义与计算定积分 综合
一.导数的定义与计算
选C；2.选C；3.选D；4.f '(0)=-1；5.dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(-2tsint²)/(sin²t²)=-2t/(sint²).
6.y=(1/2)[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)],故dy/dx=(1/2)[cosx/(1+sinx)+cosx/(1-sinx)]=secx；
7.lny=2lnx+(1/3)[ln(1-x)-ln(1+x)]；y'/y=2/x+(1/3)[-1/(1-x)-1/(1+x)]=2/x+(1/3)[-2/(1-x²)]
=(2/x)-2/[3(1-x²)]；故dy/dx=y{(2/x)-2/[3(1-x²)]}【把y的表达式代入】.
8.两边取对数得xlny=lnx+lny；两边对x取导数得lny+(xy'/y)=(1/x)+(y'/y),
故dy/dx=y(1-xlny)/[x(x-1)].
二.定积分
1.选D；2.选A；3.选D；4.选D；5.选C；
6.原式=【-0,1】∫ln(x+1)d[1/(x-2)]=【-0,1】{[1/(x-2)]ln(x+1)-∫dx/(x+1)(x-2)}
=-ln2-【-0,1】(1/3)∫[1/(x-2)-1/(x+1)]dx=-ln2-(1/3)[ln∣x-2∣-ln∣x+1∣]【-0,1】
=-ln2-(1/3)(-ln2-ln2)=-ln2；
7.原式=【1,2】∫xln²xdx=【1,2】(1/2)∫ln²xdx²=【1,2】(1/2)[x²ln²x-2∫xlnxdx]
=2ln²2-【1,2】∫xlnxdx=2ln²2-[(x²/2)(lnx-1/2)]【1,2】=2ln²2-[2(ln2-1/2)+(1/4)]
=2ln²2-2ln2+(3/4)=2(ln2)(ln2-1)+(3/4)
8.【1,e】∫lnxdx=【1,e】[xlnx-∫dx]=[xlnx-x]【1,e】=1
9.证明：右边=【0,a】∫[f(x)+f(-x)]dx=【0,a】∫f(x)dx+【0,a】∫f(-x)dx
对第二个积分作变换：∵a>0,∴-x>0,那么x<0；将-x换成x：当-x=0时x=0；当-x=a时x=-a,
dx=-d(-x)于是【0,a】∫f(-x)dx=【0,-a】∫f(x)d(-x)=【0,-a】-∫f(x)dx=【-a,0】∫f(x)dx
故右边=【0,a】∫f(x)dx+【0,a】∫f(-x)dx=【0,a】∫f(x)dx+【-a,0】∫f(x)dx
=【-a,a】∫f(x)dx=左边.故证.
【-π/4,π/4】∫[(cosx)/[1+e^(-x)]dx=【0,π/4】∫{(cosx)/[1+e^(-x)]+(cosx)/(1+e^x)}dx
=【0,π/4】∫cosxdx=sinx【0,π/4】=(√2)/2.
三.综合
选C；2.选B；3.选D；4.选B；5.选A；6.选B.7.选B；8.选B；9.选B；10.选C；
计算题：1.x=2时t=1,故dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=[t-(1/t)]/[1-(1/t²)]=t(t²-1)/(t²-1)=t=1
吓尿了，，这么多你都不会吗