导数的定义与计算定积分 综合

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 07:40:26
导数的定义与计算定积分 综合
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导数的定义与计算定积分 综合
导数的定义与计算


定积分


 
综合





导数的定义与计算定积分 综合
一.导数的定义与计算
选C;2.选C;3.选D;4.f '(0)=-1;5.dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(-2tsint²)/(sin²t²)=-2t/(sint²).
   6.y=(1/2)[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)],故dy/dx=(1/2)[cosx/(1+sinx)+cosx/(1-sinx)]=secx;
   7.lny=2lnx+(1/3)[ln(1-x)-ln(1+x)];y'/y=2/x+(1/3)[-1/(1-x)-1/(1+x)]=2/x+(1/3)[-2/(1-x²)]
   =(2/x)-2/[3(1-x²)];故dy/dx=y{(2/x)-2/[3(1-x²)]}【把y的表达式代入】.
  8.两边取对数得xlny=lnx+lny;两边对x取导数得lny+(xy'/y)=(1/x)+(y'/y),
   故dy/dx=y(1-xlny)/[x(x-1)].
二.定积分
  1.选D;2.选A;3.选D;4.选D;5.选C;
  6.原式=【-0,1】∫ln(x+1)d[1/(x-2)]=【-0,1】{[1/(x-2)]ln(x+1)-∫dx/(x+1)(x-2)}
  =-ln2-【-0,1】(1/3)∫[1/(x-2)-1/(x+1)]dx=-ln2-(1/3)[ln∣x-2∣-ln∣x+1∣]【-0,1】
 =-ln2-(1/3)(-ln2-ln2)=-ln2;
 7.原式=【1,2】∫xln²xdx=【1,2】(1/2)∫ln²xdx²=【1,2】(1/2)[x²ln²x-2∫xlnxdx]
 =2ln²2-【1,2】∫xlnxdx=2ln²2-[(x²/2)(lnx-1/2)]【1,2】=2ln²2-[2(ln2-1/2)+(1/4)]
 =2ln²2-2ln2+(3/4)=2(ln2)(ln2-1)+(3/4)
 8.【1,e】∫lnxdx=【1,e】[xlnx-∫dx]=[xlnx-x]【1,e】=1
 9.证明:右边=【0,a】∫[f(x)+f(-x)]dx=【0,a】∫f(x)dx+【0,a】∫f(-x)dx
 对第二个积分作变换:∵a>0,∴-x>0,那么x<0;将-x换成x:当-x=0时x=0;当-x=a时x=-a,
 dx=-d(-x)于是【0,a】∫f(-x)dx=【0,-a】∫f(x)d(-x)=【0,-a】-∫f(x)dx=【-a,0】∫f(x)dx
故右边=【0,a】∫f(x)dx+【0,a】∫f(-x)dx=【0,a】∫f(x)dx+【-a,0】∫f(x)dx
 =【-a,a】∫f(x)dx=左边.故证.
【-π/4,π/4】∫[(cosx)/[1+e^(-x)]dx=【0,π/4】∫{(cosx)/[1+e^(-x)]+(cosx)/(1+e^x)}dx
 =【0,π/4】∫cosxdx=sinx【0,π/4】=(√2)/2.
三.综合
选C;2.选B;3.选D;4.选B;5.选A;6.选B.7.选B;8.选B;9.选B;10.选C;
计算题:1.x=2时t=1,故dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=[t-(1/t)]/[1-(1/t²)]=t(t²-1)/(t²-1)=t=1

吓尿了,,这么多你都不会吗