已知xf(x)-f(1-x)=-x³+x²-1,求f(x)的解析式.

已知xf(x)-f(1-x)=-x³+x²-1,求f(x)的解析式.
已知xf(x)-f(1-x)=-x³+x²-1,求f(x)的解析式.

已知xf(x)-f(1-x)=-x³+x²-1,求f(x)的解析式.
xf(x)-f(1-x)= -x³+x²-1,①
将变量x替换成1-x,得
(1-x)f(1-x)-f(x)=x³-2x²+x-1,②
①*(1-x)+ ②,得到 (-x²+x-1)f(x)= (-x²+x-1)(-x²+2)
注意到 -x²+x-1

把x替换成1-x，得
(1-x)f(1-x)-f(x)=x³-2x²+x-1， ②
①*(1-x)+ ②，得到 (-x²+x-1)f(x)= (-x²+x-1)(-x²+2)
注意到 -x²+x-1<0恒成立，所以最终有
f(x)=-x²+2