已知x>0,y>0,且x+y=1,求(x+1除以x²)+(y+1除以y²)的最小值要过程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 02:33:15
![已知x>0,y>0,且x+y=1,求(x+1除以x²)+(y+1除以y²)的最小值要过程.](/uploads/image/z/14788887-15-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5x%EF%BC%9E0%2Cy%EF%BC%9E0%2C%E4%B8%94x%2By%3D1%2C%E6%B1%82%EF%BC%88x%2B1%E9%99%A4%E4%BB%A5x%26%23178%3B%EF%BC%89%2B%EF%BC%88y%2B1%E9%99%A4%E4%BB%A5y%26%23178%3B%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E8%A6%81%E8%BF%87%E7%A8%8B.)
已知x>0,y>0,且x+y=1,求(x+1除以x²)+(y+1除以y²)的最小值要过程.
已知x>0,y>0,且x+y=1,求(x+1除以x²)+(y+1除以y²)的最小值要过程.
已知x>0,y>0,且x+y=1,求(x+1除以x²)+(y+1除以y²)的最小值要过程.
除法是优先于加法的, 因此按正常的运算顺序:
(x+1/x²)+(y+1/y²) = (x+y)+(1/x²+1/y²).
由x+y = 1, 只要求1/x²+1/y²的最小值.
由(3元)均值不等式, 对x > 0有1/x²+8x+8x ≥ 3((1/x²)·(8x)·(8x))^(1/3) = 12, 即1/x² ≥ 12-16x.
同理1/y² ≥ 12-16y, 相加得1/x²+1/y² ≥ 24-16(x+y) = 8.
故(x+1/x²)+(y+1/y²) ≥ 9.
易见x = y = 1/2时等号成立, 于是最小值就是9.
其实我觉得你真正的意思是求(x+1)/x²+(y+1)/y² = (1/x+1/y)+(1/x²+1/y²)的最小值.
由均值不等式, 对x > 0有1/x+4x ≥ 2·√((1/x)·(4x)) = 4, 即1/x ≥ 4-4x.
同理1/y ≥ 4-4y, 相加得1/x+1/y ≥ 8-4(x+y) = 4.
又前面已经证明1/x²+1/y² ≥ 8, 故(x+1)/x²+(y+1)/y² ≥ 12.
同样易见x = y = 1/2时等号成立, 于是最小值就是12.
注: 可能你会觉得使用均值不等式时的系数不知道从哪来的.
其实是因为猜测x = y = 1/2时等号成立, 所以选择适当的系数使此时均值不等式的等号能成立.
已知:(x-y)^2>=0,所以:(x^2+y^2)>=2xy
整理原式:原式=(xy+x^2+y^2)/(xy)^2>=3xy/(xy)^2=3/xy
现在由原题的最小值变为求出 xy 的最大值,
很容易得出当x=y=0.5时,xy 最大
即原式的最小值为:3/0.25=12