作业帮在抛物线z=x^2+y^2上求距离平面x+y+z+1=0的最近的点,并且求最近距离
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 07:27:08
在抛物线z=x^2+y^2上求距离平面x+y+z+1=0的最近的点,并且求最近距离
在抛物线z=x^2+y^2上求距离平面x+y+z+1=0的最近的点,并且求最近距离
在抛物线z=x^2+y^2上求距离平面x+y+z+1=0的最近的点,并且求最近距离
设抛物面上最近点P（x0,y0,z0),距离为d,
根据空间点面距离公式,
d=|x0+y0+z0+1|/√3,
z0=x0^2+y0^2,代入上述关系式,
d=|(x0+y0+x0^2+y0^2+1)|√3
=|（x0^2+x0+1/4)+(y0^2+y0+1/4)|/√3+√3/3（-1/4-1/4+1）
=（√3/3）（x0+1/2)^2+（√3/3(y0+1/2)^2+√3/6,
当x=-1/2,y=-1/2时,有最小值,为√3/6,
z=(-1/2)^2+(-1/2)^2=1/2,
∴P（-1/2,-1/2,1/2).
在抛物面上距平面x+y+z+1=0的最近的点为P（-1/2,-1/2,1/2,距离√3/6.
x+y+z+1=0的法向量为(1,1,1)
x^2+y^2-z=0的法向量为（2x,2y,-1)
两者平行或者相等，所以x=-1/2,y=-1/2
即点（-1/2，-1/2,1/4）是最近点
此点法线为（x+1/2)=(y+1/2)=(z-1/4)
与x+y+z+1=0联立可得平面上最近点为(-7/12,-7/12,1/6)
最近距离平方=（-1/2...
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x+y+z+1=0的法向量为(1,1,1)
x^2+y^2-z=0的法向量为（2x,2y,-1)
两者平行或者相等，所以x=-1/2,y=-1/2
即点（-1/2，-1/2,1/4）是最近点
此点法线为（x+1/2)=(y+1/2)=(z-1/4)
与x+y+z+1=0联立可得平面上最近点为(-7/12,-7/12,1/6)
最近距离平方=（-1/2+7/12）^2+(-1/2+7/12)^2+(1/4-1/6)^2=3/144
最近距离=根3/12
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