作业帮设M=（1/a - 1）（1/b - 1）（1/c -1）,且a+b+c=1其中a,b,c都大于0,求M的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 02:38:20
设M=（1/a - 1）（1/b - 1）（1/c -1）,且a+b+c=1其中a,b,c都大于0,求M的范围
设M=（1/a - 1）（1/b - 1）（1/c -1）,且a+b+c=1其中a,b,c都大于0,求M的范围
设M=（1/a - 1）（1/b - 1）（1/c -1）,且a+b+c=1其中a,b,c都大于0,求M的范围
M=（1/a - 1）（1/b - 1）（1/c -1）
=[(1-a)/a][(1-b)/b][(1-c)/c]
=[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]
=(b+c)(a+c)(a+b)/abc
=(a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc²+2abc)/abc
=a/c + a/b + b/c + b/a + c/a + c/b + 2
=2+(a/c+c/a)+(a/b+b/a)+(b/c+c/a)
>=2+2+2+2=8
所以M>=8且仅当a=b=c=1/3时等号成立.
[8, 正无穷）
证明的方法如下：
假设：a为定值，则（1/a-1）为定值，而
(1/b - 1)(1/c - 1) = (1-b)(1-c)/bc = (1-b-c+bc)/bc = (a+bc)/bc = a/bc + 1,
因为b,c都大于0，而小于1，可以证明b = c的时候，表达式的值最小。
同理可以证明a = b, b = c的时候表达式的值最小...
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[8, 正无穷）
证明的方法如下：
假设：a为定值，则（1/a-1）为定值，而
(1/b - 1)(1/c - 1) = (1-b)(1-c)/bc = (1-b-c+bc)/bc = (a+bc)/bc = a/bc + 1,
因为b,c都大于0，而小于1，可以证明b = c的时候，表达式的值最小。
同理可以证明a = b, b = c的时候表达式的值最小。
因此在a=b=c=1/3的时候，M=8，
另，显然在a趋于0，而b=c的情况下，M趋于无穷大。
收起
没分谁做啊
M=<(1-a)/a><(1-b)/b><(1-c)/c>=<(b+c)/a><(a+c)/b><(a+b)/a>
＝（a+b）（b+c）（a+c）/abc≥8abc/abc=8
当且仅当a=b=c时等号成立
所以M的范围为M≥8