求一个简弦运动的推导过程X=Acos(wt+q)的推导过程,要详细,高中的知识忘光了.

求一个简弦运动的推导过程X=Acos(wt+q)的推导过程,要详细,高中的知识忘光了.
求一个简弦运动的推导过程
X=Acos(wt+q)的推导过程,要详细,高中的知识忘光了.

求一个简弦运动的推导过程X=Acos(wt+q)的推导过程,要详细,高中的知识忘光了.
为了直观,我们还是讨论一个弹簧振子．如图11－1,一端固定、质量可忽略、劲度系数为k的弹簧,在另一端固结一个质量为m的物体,就构成一个弹簧振子．把它平放在光滑水平面上,物体在竖直方向上受力平衡．在水平方向上,当弹簧长度等于其自然长度时,物体也不受力,这时物体的位置O是它的平衡位置．设沿弹簧长度方向移动物体（拉长或压缩弹簧）,则放开后物体就在弹簧的弹性力作用下振动起来．沿弹簧长度方向取x为坐标轴,并为了简单把原点取在物体的平衡位置,这时物体的位置坐标x同时也代表弹簧的伸长和物体离开平衡位置的位移（请注意,下面的数学表达式都是按照这一坐标原点的选择写出的,换一种坐标原点选择时,按物理意义写出的数学表达式在形式上就会不同）．设把物体移到P点（拉长弹簧）,放开后它由静止开始运动,则物体在弹簧的弹性力作用下将向O点加速运动．随着弹簧伸长的减小,弹性力减小,物体向左的加速度也减小,但因为加速度方向一直是向左的,所以物体速度的大小不断增大．直到物体到达O点时,弹性力为零,物体的加速度为零,速度达到最大（因为下一时刻速度就要减小了）．这时由于惯性,物体还会继续向左运动而压缩弹簧,弹性力方向变为向右,物体将作减速运动（加速度方向向右）,速度的大小减小．随着物体继续向右运动,弹簧的压缩量增大,向右的弹性力不断增大,向右的加速度不断增大,直到物体的速度减为零,在P′点停下,OP′=OP．由于这时物体仍受到弹性力作用,它将要反向向右运动,这向右运动的过程与它由P到P′的向左运动完全相似,过O点时加速度为零,向右速度最大,而后继续运动到P点停下,然后再向左运动,重复整个的振动过程．可以看出弹簧振子系统中物体是在平衡位置左右作往复的变加速运动,加速度和速度的方向和大小都是不断变化的．


第二定律可得
ma=-kx
即

（11．1）
因为k和m都是只取正值的量,故可引入常量ω,令

（11．2）
则上式可写成

（11．3）
这就是弹簧振子系统中物体的运动规律,它表明物体的加速度与物体离开平衡位置的位移（以下简称位移）成正比而反向．一般地说,我们把服从这种规律的物体的运动称为简谐振动．
根据微分学知识,我们知道余弦函数或正弦函数的二阶导数恰等于


或

我们就可以取以ωt为自变量的余弦函数作为微分方程（11．3）的试探解．令方程的解为
x=Acos（ωt+φ）
（11．4）
其中A和φ为常数,并求出它对t的一阶和二阶导数

可知对于任意的A和φ的值,式（11．4）都满足方程（11．3）,它确是方程（11．3）的解,也就是说式（11．4）一般地表达了机械简谐振动物体的位移随时间变化的规律．只要物体（质点）的位移满足式（11．4）,它就是作简谐振动．
上面用图11－1所讨论的运动中,设从物体在P点开始运动起计时,则该时刻t=0,x=OP,v=dx/dt=0,这就是一个A=OP,φ=0的简谐振动．
对于任意的A和φ,作简谐振动的物体的位移x,速度v=dx/dt和加速度a=d2x/dt2分别如图11－2中的三条曲线所示,它们都是随时间按余弦或正弦函数变化的．

简谐振动也可以用正弦函数表示．由三角函数关系可得

令φ′=φ+π/2则
x=Asin（ωt+φ′）
为了避免混淆,本书中一律用余弦函数表示简谐振动．
由于自然界存在许多规律相似的现象,我们在例如力学和电磁学中还看到一些别的物理量的变化也和式（11．4）相似,在这一点上我们也可以说这些物理量是在作简谐振动．例如,图11—2中的速度和加速度都可以说是在作简谐振动．
下面讨论简谐振动的三个特征量：周期（频率）、振幅和初相,这三个量完全确定一个简谐振动．
简谐振动的周期和频率 式（11．4）和图11－2都表明简谐振动是时间上的周期性运动．每经过一定的时间间隔,振动物体的位移、速度和加速度都恢复原来的大小和方向,物体作了一次完整的振动．这个时间间隔T称为振动的周期．现在由式（11．4）求出周期T．因为t时刻和t+T时刻振动的位移相同,故应有
cos[ω（t+T）+φ]=cos（ωt+φ）
余弦函数的周期为2π,所以
ω（t+T）+φ=ωt+φ+2π
即
ωT=2π
故简谐振动的周期

（11．7）
在单位时间内物体作完整振动的次数称为简谐振动的频率,用符号v表示．周期T的倒数即等于频率,故

（11．8）
由上式可知
ω=2πv
（11．9）
即前面各式中的ω等于2π倍频率,其意义可说成是2π个时间单位内物体作完整振动的次数,这个量称为角频率．
在国际单位制（SI）中,周期的单位是秒,国际符号是s,频率的单位是赫兹,简称赫,国际符号是Hz,角频率的单位是秒-1或弧度/秒,国际符号是s-1或rad·s-1．

m决定的,因此简谐振动的周期和频率只决定于振动系统的特性,相同的弹簧和相同的物体构成的弹簧振子其T和v就是相同的．
简谐振动的振幅 式（11．4）中的A是振动过程中位移x的最大值（绝对值）,它表明了振动的幅度或振动的空间范围,称为简谐振动的振幅．在图11－1描绘的简谐振动中,A=OP,但如果我们开始时移动物体更远些,则放开后物体振动的振幅就更大些,所以我们说,振幅的大小决定于振动的初始状态．
简谐振动的相位与初相在一次完整的简谐振动过程中,物体的运动状态是不断变化的．物体的运动状态由物体的位置（离开平衡位置的位移）和速度共同决定．图11－3中再画出x-t与y-t曲线,并标出几个时刻物体的位移和速度的大小和方向,可以看出在一个完整的振动过程中,任意两个时刻的运动体态都不相同．即使两个时刻的x值相同（如x1和x7）,速度的大小也相同,但速度的方向是不同的（v1＜0,v7＞0）,这也是两个不同的运动状态．
从简谐振动表达式（11．4）与（11．5）容易看出,任一时刻物体的运动状态完全可以由余弦函数的ωt+φ决定,可用ωt+φ的值来标志任一运动状态．我们特称这个量为简谐振动的相位①（或位相或周相）．振动的每一状态与一相位值相对应,如物体位移为正方向最大,速度为零（x=A,v=0）时,相位为零或2π（ωt+φ=0或2π）,物体从正方向回到平衡位置（x=0,v=-Aω）时,相位为π/2,等等．或反过来说,一个相位值ωt+φ对应着一定的运动状态．实际上,相位ωt+φ是随时间不断增加的,但由于运动的时间上的周期性,相差2π的相位值对应于同一运动状态．我们习惯上用不大于2π的相位值来说明简谐振动的运动状态．
t=0时,ωt+φ=φ,即φ代表初始时刻的相位值,称为初相．用余弦函数描述简谐振动时,若初始时刻物体在正方向最大处,t=0,x=A,v=0（如图11－1所描绘的情形）,则t=0时相位ωt+φ=0,故φ=0．这就是说,φ的值由初始状态决定．


前面已知简谐振动的振幅A也是由初始状态决定的,现在找出A、φ和初始状态的关系．令t=0时,x=x0,v=v0,这两个值合在一起称为运动的初始条件．由式（11．4）和（11．5）可得t=0时
x0=Acosφ
v0=-Aωsinφ
由以上两式可得

这样,由x0和v0就可求得A和φ．注意,由式（11．11）不能完全确定φ,有两个可能的φ值,还需要根据x0和v0的正、负判断哪个φ值正确．
对于一个正在进行着的简谐振动,计时起点可由我们视问题的方便而选择．若取物体在正向位移最大时为t=0,则φ=0；若取物体向坐标正向运动经过平衡位置时t=0,则由x0=0,v0=Aω可得φ=-π/2（或φ=3π/2）．在描述某一个简谐振动时,我们完全可以选取合宜的初始时刻以简化其表达式（例如使φ=0）,但这并不意味着在式（11．4）中可以不引入φ,因为常常有必要比较或同时考虑两个或多个简谐振动,这时一般就不可能选取同一计时起点而使实际上的两个或多个简谐振动的φ都等于零．
下面讨论两个同频率简谐振动的情况．在同一x-t图上画出同频率不同振幅的两个简谐振动1和2的振动曲线,如图11－5．可以看出、这两个振动虽然周期相同,但在“步调”上是不同的．这表现在同一时刻两个振动的相位不同．例如,在t=0时,振动1和2的相位分别为0和

关）；振动过程中总是振动2先达到其正方向位移的最大值,振动1后达到其正方向位移的最大值（这就是两者步调不同的意思）．还请注意,在这个特例图中可看到步调不同的两个同频率简谐振动,在任意时刻,

说,若两个同频率的简谐振动为

x1=A1cos（ωt+φ1）
和
x2=A2cos（ωt+φ2）
则它们的相位差为
△φ=（ωt+φ2）-（ωt+φ1）
=φ2-φ1
这确是一个不随时间改变的恒定值．因此,对于同频率简谐振动,我们就可以用两个振动的相位差来表明它们步调的差别．
由图11－5还可看出,对于两振动的最靠近的达到正方向位移最大值的振动状态,例如图中a1和a2,总是振动1落后于振动2（a2在先,

出振动2超前于振动1的相位差．
当然,由于振动的周期性,相隔一个周期的振动状态a′2也与a2相同,用a′2与a1相比又可说振动2落后于振动

性,通常当我们只是比较两个振动（不是研究波的传播）时,只用不大于π的相位差值说哪个振动超前或落后．
△φ=0的两个简谐振动称为同相（同步调）振动,△φ=π的两个振动称为反相振动．请读者想象一下这两种情形下两个振动的运动情况．

11．1．2简谐振动的旋转矢量描述法

从上面关于相位ωt+φ的讨论,可知简谐振动的位移就是振幅A与相位的余弦的乘积．这启发我们,如果在简谐振动所在的直线即x轴上过原点O（平衡位置）取一个长度为A的线段,并使这线段与x轴的夹角恰等于相位ωt+φ,则这线段在x轴上的投影就等于简谐振动的位移．如果再使这线段绕原点O以均匀的角速度ω旋转起来,则夹角随时间的变化也就是相位随时间的变化,而线段在x轴上的投影也就表达了简谐振动的位移．为了方便地、直观地描述简谐振动,并且为了便于考虑简谐振动的合成,我们把线段画成矢量（图11－6）,并把这个旋转矢量也称为振幅矢量．只是要注意旋转矢量所描述的振动不是矢量本身的运动而是用它在x轴上的投影来代表振动的位移（也可以认为矢量端点的投影点就代表一个振动质点,随着矢量的旋转这个质点在x轴上原点附近往复作简谐振动）．从这个描述法也可看出,角频率ω与旋转矢量的角速度对应．



采用这一描述法,在处理简谐振动时有许多方便之处．例如,图11－7中矢量位于OL时就表示质点正经过平衡位置O向x轴负向运动,振动的相位为π/2；矢量位于OK就表示质点正在O点左侧向x轴正向运动．从这两个矢量也可看出它们对应的运动状态的相位差为△φ．另外,也很容易根据运动状态确定振动的相位．例如x=A,v=0的运动状态对应着矢量A恰在x轴上沿着正向,这时的相位ωt+φ=2kπ（k=0,1,2,…）,如果这时是计时起点则φ=0．又如已知x=x1（图11－8）,则显然矢量A的端点一定在以原点为圆心以A为半径的圆周与过x1点垂直于x轴的直线的交点上,或是在M点,或是在N点,只要再知道质点的运动方向,即v＞0或v＜0,就可以确定振动的相位．
例1 弹簧振子作振幅为A、周期为T的简谐振动．t=0时刻,物体正经过平衡位置向坐标正方向运动,求：
（1）在t=T/12,T/8,T/6,T/4各时刻物体的位移；
（2）在t=0到t=T/4时间内的哪些时刻,物体的正向位移为x=A/3,A/2,2A/3,A．
解 题中已给出简谐振动的振幅,则只需求出φ便可确定振动的表达式．由t=0时x0=0,可得
x0=Acosφ=0
解出

（φ=±3π/2与φ=±π/2是相同的解）．由于t=0时速度为正,则
v0=-Aωsinφ＞0
可断定

利用ω=2π/T,得出

（1）
（1）根据式（1）算出所求的各位移值列在表11．1中．表中第二行列出的实际是各时刻振动的相位．
（2）由式（1）得


值,计算结果列于表11．2中．

此题用旋转矢量法可更快解出．根据已知条件很容易画出t=0时的矢量位置（图11－9、图11－10）．然后：


（1）分别画出各时刻的矢量位置（图11－9）,则由这些位置与x轴的夹角即可求出各时刻位移,如表11．1．
（2）在x轴上标出各位移值所对应的点,作通过这些点垂直于x轴的直线与以O为圆心以A为半径的圆弧相交于a、b、c、d各点,连Oa、Ob、Oc、Od就分别得出各时刻的矢量,则由各矢量与t=0时矢量间的夹角即可求出各个时刻t,如表11．2．
例2 一弹簧振子竖直悬挂时,弹簧伸长9.8cm,现使它在光滑水平面上作简谐振动．设当物体位于x轴正方向上离开平衡位置4.0cm处时,受到冲击力,使物体以指向平衡位置的30cm·s-1的速度开始作简谐振动．写出振动表达式．
解 弹簧振子竖直悬挂时,质量为m的物体所受重力为mg．设弹簧的伸长为l,弹簧的劲度系数为k,则弹性力为kl,物体平衡,则有
mg=kl
由式（11．2）可知弹簧振子作简谐振动的角频率为

代入题给数据（l=9.8cm）可得

由题意,t=0时x0=4.0cm,v0=-30cm·s-1．
由式（11．10）和（11．11）,并根据x0和v0的符号可求出

=0.205π
把此值代入x0=Acosφ验算,可知此值正确,故所求振动表达式为
x=0.05cos（10t+0.205π）
式中各量均用SI单位．
例3 两个弹簧振子作同频率简谐振动．已知在时刻t振子1的物体正在经过平衡位置向x轴负方向运动时,振子2的物体正在x2=-0.707A2处向平衡位置运动．求两振子振动（分别称为振动1、2）的相位差并讨论哪个振动超前?

解 用旋转矢量法解此题非常简便．在同一个图上画出时刻t振动1、2的旋转矢量A1、A2,如图11－11．由题给数据可知角α=π/4．则

根据矢量的旋转方向可知这是振动2的相位减去振动1的相位的值,且π＞△φ＞0,故可知振动2超前．

11．1．3简谐振动的能量

作简谐振动的弹簧振子系统,在运动过程中,物体的速度和弹簧的长度都不断变化,因而物体的动能和弹簧的弹性势能也都在不断变化．由式（11．4）和式（11．5）,注意到式中x同时也表示弹簧的伸长,可得任一时刻系统的弹性势能和动能（弹簧质量不计）分别为

（11．12）

（11．13）
利用ω2=k/m可把动能式化为

（11．14）
为便于分析,取物体位置在x=A时为时间零点t=0,则φ=0,于是



再接下去的返回运动中,势能动能的变化过程相似．这表明在弹簧振子的运动中,两种能量此长彼消地进行转换．由式（11．12）和式（11．14）可得两种能量之和,即弹簧振子的总机械能为

（11．15）
这是一个不随时间改变的常量．因此,弹簧振子的简谐振动中的动能和弹性挚能相互转换,而总机械能守恒,且总机械能等于动能的或弹性势能的最大值．在运动中,我们所讨论的弹簧振子系统与外界没有能量交换（没有外力对系统作功）,又不计摩擦和弹簧中发热这类机械能损耗,这是一个当然的结果．
式（11．15）还给出总机械能与振幅的二次方成正比,因此振幅的大小也反映了振动能量的大小（即振动强度的大小）,这又进一步给出了振幅的物理意义．由初始状态决定的振幅就是初始状态能量大小的反映．这样,我们就可以想得到,如果在振动过程中振动系统的能量不断损耗,则振动的振幅就会不断减小（阻尼振动）．实际弹簧振子或单摆多次振动后停下来,就是因为振动中有能量损耗．

http://218.24.233.167:8000/Resource/GZ/GZWL/WLBL/DXWLLL/wl100013ZW_0074.htm