作业帮证明1/(n+1)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 15:14:13
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证明1/(n+1)
证明1/(n+1)
证明1/(n+1)
构造函数f(x)=ln(1+x)-x,（x>0）
则f'(x)==1/（1+x)-1=-x/(1+x)0上単减
因此f(x)
设f(x)=ln(1+1/x)-1/x
f'(x)=1/(1+1/x)*(-1/x^2)+1/(x^2)=1/(x^2)(1-x/(1+x))=1/[(1+x)x^2]>0
f(x)在x>=1时是增函数．
因n>=1 f(n)=ln(1+1/n)-1/n是增的．最大值为f(无穷大)
limf(n) (n趋于无穷）=ln1-0=0
所以f(n)=ln(1+1...
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设f(x)=ln(1+1/x)-1/x
f'(x)=1/(1+1/x)*(-1/x^2)+1/(x^2)=1/(x^2)(1-x/(1+x))=1/[(1+x)x^2]>0
f(x)在x>=1时是增函数．
因n>=1 f(n)=ln(1+1/n)-1/n是增的．最大值为f(无穷大)
limf(n) (n趋于无穷）=ln1-0=0
所以f(n)=ln(1+1/n)-1/n<0 ln(1+1/n)<1/n
定g(x)=1/(x+1)-ln(1+1/x)
g'(x)=-1/(x+1)^2+x/((1+x)x^2)=1/(x+1)*[1/x-1/(x+1)] x>=1时，g'(x)>0
g(x)为增，最小值为g(1)
所以g(n)=1/(n+1)-ln(1+1/n)为增，最大值为g(无穷大) g(n)<=g(无穷大)
limg(n) n趋于无穷=0-0=0
g(n)<0
即：1／（n+1)
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